• 【bzoj4318】OSU! 期望dp


    题目描述

    osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。 
    我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子: 
    一共有n次操作,每次操作只有成功与失败之分,成功对应1,失败对应0,n次操作对应为1个长度为n的01串。在这个串中连续的 X个1可以贡献X^3 的分数,这x个1不能被其他连续的1所包含(也就是极长的一串1,具体见样例解释) 
    现在给出n,以及每个操作的成功率,请你输出期望分数,输出四舍五入后保留1位小数。 

    输入

    第一行有一个正整数n,表示操作个数。接下去n行每行有一个[0,1]之间的实数,表示每个操作的成功率。 

    输出

    只有一个实数,表示答案。答案四舍五入后保留1位小数。 

    样例输入

    3
    0.5
    0.5
    0.5

    样例输出

    6.0


    题解

    期望dp

    若第i个时连续的为x个,则第i+1个继续连续时对答案的贡献为(x+1)^3-x^3=3*x^2+3*x+1。

    那么可以开数组记录一下连续个数的期望和连续个数平方的期望。

    这里需要注意的是,平方的期望不等于期望的平方(不明觉厉)。

    所以平方的期望需要递推来求,方法和上面类似,很容易就推出来,不懂可以看代码。

    #include <cstdio>
    double f[100010] , a[100010] , b[100010];
    int main()
    {
        int n , i;
        double p;
        scanf("%d" , &n);
        for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
        {
            scanf("%lf" , &p);
            f[i] = f[i - 1] + (1 + 3 * a[i - 1] + 3 * b[i - 1]) * p;
            a[i] = (a[i - 1] + 1) * p;
            b[i] = (b[i - 1] + 2 * a[i - 1] + 1) * p;
        }
        printf("%.1lf
    " , f[n]);
        return 0;
    }

     

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