1.向量
高中必修一知识,以二维向量为例。
本章只选取了与代数有较大关联的内容,完整版见几何篇。
1.1向量的表示
也就是后文提到的列向量,表示为 (egin{bmatrix}a\bend{bmatrix})
1.2向量的运算
1.2.1点积
[(a,b)cdot (c,d)=ac+bd ]
描述为更符合线性代数的形式:
[egin{bmatrix} a&bend{bmatrix}cdotegin{bmatrix} c\ dend{bmatrix} =ac+bd ]
1.2.2叉积
向量叉积与行列式有关。
2.矩阵
2.1一些概念
对于矩阵 (A) :
- 主对角线:即 (A_{i,i}) 元素组成的集合。
- 单位矩阵:表示为 (I),指主对角线中元素为1,其余元素为0的矩阵。
- 逆矩阵:满足 (A imes A^{-1}=I) 的矩阵 (A^{-1})
- 矩阵的转置:记为 (A^T),其中,(A^T_{i,j}=A_{j,i})
- 行向量:1 行 (n) 列的矩阵。
- 列向量:(n) 行 1 列的矩阵。
- (n) 阶方阵:(n imes n) 的矩阵 (A_n)
- 上/下三角矩阵:对角线下/上全为 0 的矩阵
2.2矩阵乘法
设 (A) 是大小 (r imes m) 的矩阵,(B) 是大小为 (m imes c) 的矩阵,令 (C=A imes B),则
3.行列式
2.1bigformula定义
对于 (n) 阶方阵 (A=(a_{i,j})) ,定义
[{ m det}(A)=sum_{sigmain S_n}{ m sgn}(sigma )prod _{i=1}^na_{i,sigma(i)} ]其中,(S_n) 是指长度为 (n) 的全体排列的集合,(sigma) 是一个全排列,如果 ({sigma}) 的逆序对对数为偶数,则 ({ m sgn}(sigma)=1),否则 ({ m sgn}(sigma) = -1)
简记为 ({ m det}(A)=|A|)
人话:从矩阵的每一行中挑出一个数累乘,每个数用一个与排列的逆序对相关的数作为系数。
2.2性质
以三阶行列式为例。
不需要死记硬背,建议从几何意义上理解
-
(|I|=1)
-
在行列式中,一行(列)元素全为0,则此行列式的值为0
[left|egin{matrix}0&0&0\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight |=left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&0\a_{2,1}&a_{2,2}&0\a_{3,1}&a_{3,2}&0end{matrix} ight | = 0 ] -
在行列式中,某一行(列)有公因子 (k),则可以提出 (k)
[left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\ka_{2,1}&ka_{2,2}&ka_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight |=kleft|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight | ] -
在行列式中,若某一行(列)的每个元素是两数之和,则可以拆分为两个相加的行列式
[left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{2,1}+b_{2,1}&a_{2,2}+b_{2,2}&a_{2,3}+b_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight |=left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight |+left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\b_{2,1}&b_{2,2}&b_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight | ] -
在行列式中,两行(列)互换,行列式符号取反
[left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight |=-left|egin{matrix}a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight | ] -
在行列式中,有两行(列)对应成比例,则行列式值为 0
[left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\ka_{2,1}&ka_{2,2}&ka_{2,3}end{matrix} ight |=0 ] -
在行列式中,将一行(列)的 (k) 倍加入另一行(列)中,行列式的值不变
[left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight |=left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{2,1}+ka_{1,2}&a_{2,2}+ka_{1,2}&a_{2,3}+ka_{1,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight | ] -
将行列式的行列互换,行列式的值不变,即
[|A|=|A^{T}| ] -
对于上三角矩阵
[left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\0&a_{2,2}&a_{2,3}\0&0&a_{3,3}end{matrix} ight |=a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} ] -
行列式乘法定理
[{ m det}(AB)={ m det}(A){ m det}(B) ]特别地,当与常数 (r) 相乘时,有
[{ m det}(rA)={ m det}(rIcdot A)={ m det}(rI){ m det}(A)=r^n{ m det}(A) ]
2.3求解行列式
对于 (n) 阶方阵 (A),有
2.3.1定义法
直接按照定义式计算,时间复杂度 (Theta(ncdot n!))
2.3.2高斯消元
通过 2.2 罗列的性质可知,行列式是可以进行消元操作的,因此可以通过高斯消元,将原矩阵简化为三角矩阵,时间复杂度 (Theta(n^3))。
2.3.3行列式展开
2.3.3.1代数余子式
将 (A) 的某些行与列去掉(假设去掉 (i) 行 (j) 列)之后所余下的方阵的行列式,其相应的方阵有时被称为余子阵,记为 (M_{ij})
一个矩阵 (A=(a_{i,j})) 的代数余子式:(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij})
2.3.3.2Laplace展开
对于第 (i) 行,有 ({ m det}(A)=sum_{j=1}^na_{i,j}C_{ij})
对于第 (j) 列,有 ({ m det}(A)=sum_{i=1}^n a_{i,j}C_{ij})
2.3.3.3余因子矩阵、伴随矩阵与逆矩阵
矩阵 ({ m cof}(A)=(C_{ij})_{i,j}) 称作 (A) 在 ((i,j)) 的余因子矩阵,即将 (C_{ij}) 摆在矩阵的第 (i) 行第 (j) 列。
({ m cof}(A)) 的转置矩阵称为 (A) 的伴随矩阵,记为 ({ m adj}(A))
如果矩阵 (A) 可逆,则 (A^{-1}=dfrac{{ m adj}(A)}{{ m det}(A)}=dfrac{A^*}{|A|}),(A^*) 表示 (A) 的伴随矩阵。
2.4Cauchy-Binet公式
给定两个 (n imes m) 的矩阵,有
其中 (A_{i_1,i_2,...,i_m}) 为 (A) 保留 (i_1,i_2,...,i_m) 列所得的矩阵。
2.3一些定理
2.3.1矩阵树定理
坑待补...
2.3.2LGV引理
坑待补...
3.参考文献
- 矩阵树定理(+行列式) - command_block 的博客 - 洛谷博客 (luogu.com.cn)
- 【5】行列式 - 知乎 (zhihu.com)
- 【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集_哔哩哔哩_bilibili
- Determinant - Wikipedia
- 矩阵树定理 - OI Wiki (oi-wiki.org)
- LGV 引理 - OI Wiki (oi-wiki.org)
敬请期待:线性代数学习笔记(几何篇)