• 线性代数学习笔记(代数篇)


    1.向量

    高中必修一知识,以二维向量为例。

    本章只选取了与代数有较大关联的内容,完整版见几何篇。

    1.1向量的表示

    也就是后文提到的列向量,表示为 (egin{bmatrix}a\bend{bmatrix})

    1.2向量的运算

    1.2.1点积

    [(a,b)cdot (c,d)=ac+bd ]

    描述为更符合线性代数的形式:

    [egin{bmatrix} a&bend{bmatrix}cdotegin{bmatrix} c\ dend{bmatrix} =ac+bd ]

    1.2.2叉积

    向量叉积与行列式有关。

    [vec v imes vec p={ m det}left (egin{bmatrix} vec i&v_1&p_1\vec j&v_2&p_2\vec{k}&v_3&p_3end{bmatrix} ight) ]

    2.矩阵

    2.1一些概念

    对于矩阵 (A)​ :

    • 主对角线:即 (A_{i,i}) 元素组成的集合。
    • 单位矩阵:表示为 (I),指主对角线中元素为1,其余元素为0的矩阵。
    • 逆矩阵:满足 (A imes A^{-1}=I)​ 的矩阵 (A^{-1})
    • 矩阵的转置:记为 (A^T)​,其中,(A^T_{i,j}=A_{j,i})
    • 行向量:1 行 (n) 列的矩阵。
    • 列向量:(n) 行 1 列的矩阵。
    • (n)​ 阶方阵:(n imes n)​​ 的矩阵 (A_n)
    • 上/下三角矩阵:对角线下/上全为 0 的矩阵

    2.2矩阵乘法

    (A)​​​ 是大小 (r imes m)​​​ 的矩阵,(B)​​​ 是大小为 (m imes c) 的矩阵,令 (C=A imes B)​,则

    [C_{i,j}=sum_{k=1}^m A_{i,k}B_{k,j} ]

    3.行列式

    2.1bigformula定义

    对于 (n) 阶方阵 (A=(a_{i,j}))​ ,定义

    [{ m det}(A)=sum_{sigmain S_n}{ m sgn}(sigma )prod _{i=1}^na_{i,sigma(i)} ]

    其中,(S_n) 是指长度为 (n) 的全体排列的集合,(sigma) 是一个全排列,如果 ({sigma}) 的逆序对对数为偶数,则 ({ m sgn}(sigma)=1),否则 ({ m sgn}(sigma) = -1)

    简记为 ({ m det}(A)=|A|)

    人话:从矩阵的每一行中挑出一个数累乘,每个数用一个与排列的逆序对相关的数作为系数。

    2.2性质

    以三阶行列式为例。

    不需要死记硬背,建议从几何意义上理解

    • (|I|=1)

    • 在行列式中,一行(列)元素全为0,则此行列式的值为0

      [left|egin{matrix}0&0&0\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight |=left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&0\a_{2,1}&a_{2,2}&0\a_{3,1}&a_{3,2}&0end{matrix} ight | = 0 ]

    • 在行列式中,某一行(列)有公因子 (k),则可以提出 (k)

      [left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\ka_{2,1}&ka_{2,2}&ka_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight |=kleft|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight | ]

    • 在行列式中,若某一行(列)的每个元素是两数之和,则可以拆分为两个相加的行列式

      [left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{2,1}+b_{2,1}&a_{2,2}+b_{2,2}&a_{2,3}+b_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight |=left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight |+left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\b_{2,1}&b_{2,2}&b_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight | ]

    • 在行列式中,两行(列)互换,行列式符号取反

      [left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight |=-left|egin{matrix}a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight | ]

    • 在行列式中,有两行(列)对应成比例,则行列式值为 0

      [left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\ka_{2,1}&ka_{2,2}&ka_{2,3}end{matrix} ight |=0 ]

    • 在行列式中,将一行(列)的 (k) 倍加入另一行(列)中,行列式的值不变

      [left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight |=left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\a_{2,1}+ka_{1,2}&a_{2,2}+ka_{1,2}&a_{2,3}+ka_{1,3}\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}end{matrix} ight | ]

    • 将行列式的行列互换,行列式的值不变,即

      [|A|=|A^{T}| ]

    • 对于上三角矩阵

      [left|egin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\0&a_{2,2}&a_{2,3}\0&0&a_{3,3}end{matrix} ight |=a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} ]

    • 行列式乘法定理

      [{ m det}(AB)={ m det}(A){ m det}(B) ]

      特别地,当与常数 (r) 相乘时,有

      [{ m det}(rA)={ m det}(rIcdot A)={ m det}(rI){ m det}(A)=r^n{ m det}(A) ]

    2.3求解行列式

    对于 (n) 阶方阵 (A),有

    2.3.1定义法

    直接按照定义式计算,时间复杂度 (Theta(ncdot n!))

    2.3.2高斯消元

    通过 2.2 罗列的性质可知,行列式是可以进行消元操作的,因此可以通过高斯消元,将原矩阵简化为三角矩阵,时间复杂度 (Theta(n^3))

    2.3.3行列式展开

    2.3.3.1代数余子式

    (A)​​​​​ 的某些行与列去掉(假设去掉 (i)​​​ 行 (j)​​​ 列)之后所余下的方阵的行列式,其相应的方阵有时被称为余子阵,记为 (M_{ij})​​​​

    一个矩阵 (A=(a_{i,j}))​​ 的代数余子式(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij})

    2.3.3.2Laplace展开

    对于第 (i)​ 行,有 ({ m det}(A)=sum_{j=1}^na_{i,j}C_{ij})​​

    对于第 (j)​​​ 列,有 ({ m det}(A)=sum_{i=1}^n a_{i,j}C_{ij})

    2.3.3.3余因子矩阵、伴随矩阵与逆矩阵

    矩阵 ({ m cof}(A)=(C_{ij})_{i,j})​ 称作 (A)​ 在 ((i,j))​ 的余因子矩阵,即将 (C_{ij}) 摆在矩阵的第 (i) 行第 (j) 列。

    ({ m cof}(A)) 的转置矩阵称为 (A) 的伴随矩阵,记为 ({ m adj}(A))

    如果矩阵 (A) 可逆,则 (A^{-1}=dfrac{{ m adj}(A)}{{ m det}(A)}=dfrac{A^*}{|A|})(A^*) 表示 (A)​ 的伴随矩阵。

    2.4Cauchy-Binet公式

    给定两个 (n imes m) 的矩阵,有

    [{ m det}(AB^T)=egin{cases}0&m<n\ sum_{1leq i_1 < i_2<...<i_mleq n}{ m det}(A_{i_1,i_2,...,i_m}){ m det}(B _{i_1,i_2,...,i_m})&mge nend{cases} ]

    其中 (A_{i_1,i_2,...,i_m})(A) 保留 (i_1,i_2,...,i_m) 列所得的矩阵。

    2.3一些定理

    2.3.1矩阵树定理

    坑待补...

    2.3.2LGV引理

    坑待补...

    3.参考文献

    1. 矩阵树定理(+行列式) - command_block 的博客 - 洛谷博客 (luogu.com.cn)
    2. 【5】行列式 - 知乎 (zhihu.com)
    3. 【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集_哔哩哔哩_bilibili
    4. Determinant - Wikipedia
    5. 矩阵树定理 - OI Wiki (oi-wiki.org)
    6. LGV 引理 - OI Wiki (oi-wiki.org)

    敬请期待:线性代数学习笔记(几何篇)

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/GDOI2018/p/15096605.html
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