• 递推求解DAG最长路径长度及最长路径条数


    说明

    在一般图中,求解最长路或最短路只能通过最短路算法解决
    但是在DAG中,由于不存在环,因此可以通过递推,以线性复杂度计算处最长路或最短路。当然需要首先对有向图进行Tarjan缩点转化为DAG

    例题

    题目理解

    首先对题目中涉及到的几个概念做几点说明:

    1. 半连通:任意点对((u, v)),满足(u->v) (v->u)有路径。因为是满足的,所以强连通满足半连通
      因此若要满足半连通,只需没有孤立点即可
    2. 导出子图:图(G)的导出子图是指,(G)顶点的一个子集(E)(G)中两端顶点均在(E)中的边构成的图

    如果理解了半连通和导出子图的定义,有一定概率我们可以想到如果将原图转换为DAG,因为图上边权是一致的,因此包含最多节点数目的一条路径是最长路
    如果可以想到这个结论,下一步的想法很自然的就是去判断最长路是否为最大半连通子图,有以下两点因素需要考虑:

    1. 最长路是否为半连通的
      因为强连通是半连通的且单向链路是半连通的,而Tarjan缩点后图上最长路是一条包含强连通分量的单向链路,因此最长路是半连通的
    2. 最长路是否为导出子图
      若最长路中的两点之间存在重边,显然最长路只会包含重边中的一条,但根据导出子图的定义,导出子图应当将该两点中的重边全部包含在内,因此最长路并非导出子图
      虽然最长路并非最大半连通子图,但是可以发现,最长路不满足最大半连通子图的原因在于没有选择一些重边,假设我们加上这些重边,那么最长路显然就成为了最大半连通子图。而且我们可以发现,虽然加上了这些边,但最长路中点的数量并没有发生改变

    综上所述,实际结论为:最大半连通子图拥有的节点数 $K == $ 有向有环图转换为DAG后最长路的长度,不同的最大半连通子图的数目$C == $有向有环图转换为DAG后最长路的条数

    代码实现

    1. Tarjan求强连通分量缩点,将原图转换为DAG
    2. 利用DP思想递推求解最长路长度和最长路条数
      f[i]: 统计走到i点时获得的最大长度
      g[i]:统计以最大长度走到i点时的方案数
      设i点的前驱节点有一个j,则操作逻辑如下
    // 从j点走来总长度大于当前最大长度,则选择从j点走来
    if (f[j] + Size[i] > f[i])
    {
        f[i] = f[j] + Size[i];
        g[i] = f[j];
    }
    // 从j点走来总长度与当前最大长度相等,则走到i点既可以按现在的方案也可以选择从j点走来
    else if (f[j] + Size[i] == f[i])
        g[i] += g[j];
    
    #include <iostream>
    #include <cstring>
    #include <cstdio>
    #include <algorithm>
    #include <queue>
    #include <stack>
    #include <vector>
    #include <unordered_map>
    
    using namespace std;
    using LL = long long;
    
    const int N = 1e5 + 10, M = 2e6 + 10; // M应当包含原图和缩点后的图,边数应当*2
    
    int n, m, mod;
    int h[N], hs[N], e[M], ne[M], idx;
    stack<int> stk;
    bool in_stk[N];
    int dfn[N], low[N], timestamp;
    int id[N], Size[N], scc_cnt;
    unordered_map<LL, bool> st;
    int f[N], g[N];
    
    void add(int *h, int a, int b)
    {
        e[idx] = b;
        ne[idx] = h[a];
        h[a] = idx ++;
    }
    void tarjan(int u)
    {
        dfn[u] = low[u] = ++ timestamp;
        stk.push(u); in_stk[u] = true;
    
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (!dfn[j])
            {
                tarjan(j);
                low[u] = min(low[u], low[j]);
            }
            else if (in_stk[j]) low[u] = min(low[u], dfn[j]);
        }
    
        if (dfn[u] == low[u])
        {
            int y;
            ++ scc_cnt;
            do {
                y = stk.top(); stk.pop();
                in_stk[y] = false;
                id[y] = scc_cnt;
                ++ Size[scc_cnt];
            } while (y != u);
        }
    }
    int main()
    {
        memset(h, -1, sizeof h);
        memset(hs, -1, sizeof hs);
    
        cin >> n >> m >> mod;
        for (int i = 0; i < m; ++ i)
        {
            int a, b;
            cin >> a >> b;
            add(h, a, b);
        }
    
        for (int i = 1; i <= n; ++ i)
            if (!dfn[i])
                tarjan(i);
        
        for (int i = 1; i <= n; ++ i)
            for (int j = h[i]; ~j; j = ne[j])
            {
                int k = e[j];
                int a = id[i], b = id[k];
                LL hash = a * 1000000ll + b; // 可能会爆int,需要ll
    
                if (a != b && !st[hash])
                {
                    add(hs, a, b);
                    st[hash] = true;
                }
            }
        
        /**
         *  递推需要按照拓扑序进行,否则数据无法更新完全
         *  scc_cnt越小,则其在拓扑序中越靠后
         *  scc_cnt从大到小的顺序即为拓扑序的顺序
         */
        for (int i = scc_cnt; i >= 1; -- i)
        // for (int i = 1; i <= scc_cnt; ++ i)
        {
            if (!f[i])
            {
                f[i] = Size[i];
                g[i] = 1;
            }
            for (int j = hs[i]; ~j; j = ne[j])  // 注意这里的节点是指缩点之后的节点,需要使用hs
            {
                int p = e[j];
                if (f[p] < f[i] + Size[p])
                {
                    f[p] = f[i] + Size[p];
                    g[p] = g[i];
                }
                else if (f[p] == f[i] + Size[p])
                    g[p] = (g[p] + g[i]) % mod;
            }
        }
    
        int maxf = -0x3f3f3f3f, maxg = -0x3f3f3f3f;
        for (int i = 1; i <= scc_cnt; ++ i)
            if (f[i] > maxf)
            {
                maxf = f[i];
                maxg = g[i];
            }
            else if (f[i] == maxf)
                maxg = (maxg + g[i]) % mod;
        
        cout << maxf << endl << maxg << endl;
    
        return 0;
    }
    
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