求单源最短路的SPFA算法的全称是:Shortest Path Faster Algorithm,是西南交通大学段凡丁于1994年发表的。
定理: 只要最短路径存在,上述SPFA算法必定能求出最小值。
数据结构:
队列q,
vis存是否在队列里
采取的方法是动态逼近法:
设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点,
优化时每次取出队首结点u,
用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作,如果v点的最短路径估计值有所调整,且v点不在当前的队列中,就将v点放入队尾。
这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作,直至队列空为止。
spfa的写法与宽度优先搜索很接近,宽搜是没有进过队列的节点进队列,而spfa是松弛后,原来不在队列的顶点进队列,一个顶点可能要多次进队列。如果写手工队列,需要将队列开的稍大,或者写循环队列。
模板:
void spfa(int s){ queue<int>q; int vis[maxn]; memset(vis,0,sizeof(vis)); memset(dis,0x3f,sizeof(dis)); dis[s]=0; q.push(s); vis[s]=true; while(!q.empty()){ int u=q.front();q.pop();vis[u]=false; for(int i=head[u];i>-1;i=e[i].next) if(dis[e[i].to]>dis[u]+e[i].w){ dis[e[i].to]=dis[u]+e[i].w; if (!vis[e[i].to]){ q.push(e[i].to); vis[e[i].to]=true; } } } }
Spfa可以用来解决负权边的问题,也可以结局负权回路。
增加一个数组count[],存储一个顶点进队列的次数,如果这个次数超过n,那么有负权回路,不存在最短路。
注意出队的点vis变为false