跟着编程之美学算法——最长公共子序列

最长公共子序列是一个很经典的动态规划问题，最近正在学习动态规划，所以拿来这里再整理一下。

这个问题在《算法导论》中作为讲动态规划算法的例题出现。

动态规划，众所周知，第一步就是找子问题，也就是把一个大的问题分解成子问题。这里我们设两个字符串A、B，A = "a0, a1, a2, ..., am-1"，B = "b0, b1, b2, ..., bn-1"。

（1）如果am-1 == bn-1，则当前最长公共子序列为"a0, a1, ..., am-2"与"b0, b1, ..., bn-2"的最长公共子序列与am-1的和。长度为"a0, a1, ..., am-2"与"b0, b1, ..., bn-2"的最长公共子序列的长度+1。

（2）如果am-1 != bn-1，则最长公共子序列为max（"a0, a1, ..., am-2"与"b0, b1, ..., bn-1"的公共子序列，"a0, a1, ..., am-1"与"b0, b1, ..., bn-2"的公共子序列）

如果上述描述用数学公式表示，则引入一个二维数组c[][]，其中c[i][j]记录X[i]与Y[j]的LCS长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，即，搜索方向。

这样我们可以总结出该问题的递归形式表达：

按照动态规划的思想，对问题的求解，其实就是对子问题自底向上的计算过程。这里，计算c[i][j]时，c[i-1][j-1]、c[i-1][j]、c[i][j-1]已经计算出来了，这样，我们可以根据X[i]与Y[j]的取值，按照上面的递推，求出c[i][j]，同时把路径记录在b[i][j]中（路径只有3中方向：左上、左、上，如下图）。

计算c[][]矩阵的时间复杂度是O(m*n)；根据b[][]矩阵寻找最长公共子序列的过程，由于每次调用至少向上或向左移动一步，这样最多需要（m+n）次就会i = 0或j = 0，也就是算法时间复杂度为O(m+n)。

一下是代码实现 

  1 #include <iostream>
  2 #include <stdio.h>
  3 #include <string>
  4 #include <string.h>
  5 
  6 using namespace std;
  7 
  8 void LCS_Print(int **LCS_Direction, char *str, int row, int column)
  9 {
 10     if(str == NULL)
 11         return;
 12 
 13     int nLen1 = strlen(str);
 14 
 15     if(nLen1 == 0 || row < 0 || column < 0)
 16         return;
 17     
 18     if(LCS_Direction[row][column] == 1)
 19     {
 20         if(row > 0 && column > 0)
 21             LCS_Print(LCS_Direction, str, row - 1, column - 1);
 22         printf("%c ", str[row]);
 23     }
 24     else if(LCS_Direction[row][column] == 2)
 25     {
 26         if(row > 0)
 27             LCS_Print(LCS_Direction, str, row - 1, column);
 28     }
 29     else if(LCS_Direction[row][column] == 3)
 30     {
 31         if(column > 0)
 32             LCS_Print(LCS_Direction, str, row, column - 1);
 33     }
 34 }
 35 
 36 int LCS(char *str1, char *str2)
 37 {
 38     if(str1 == NULL || str2 == NULL)
 39         return 0;
 40 
 41     int nLen1 = strlen(str1);
 42     int nLen2 = strlen(str2);
 43 
 44     if(nLen1 <= 0 || nLen2 <= 0)
 45         return 0;
 46 
 47     // 申请一个二维数组，保存不同位置的LCS值
 48     int **LCS_Length = new int*[nLen1];
 49     // 申请一个二维数组，保存公共序列的位置
 50     int **LCS_Direction = new int*[nLen1];
 51     for(int i = 0; i < nLen1; i++)
 52     {
 53         LCS_Length[i] = new int[nLen2];
 54         LCS_Direction[i] = new int[nLen2];
 55     }
 56 
 57     for(int i = 0; i < nLen1; i++)
 58         LCS_Length[i][0] = 0;
 59     for(int i = 0; i < nLen2; i++)
 60         LCS_Length[0][i] = 0;
 61     
 62     for(int i = 0; i < nLen1; i++)
 63     {
 64         for(int j = 0; j < nLen2; j++)
 65         {
 66             LCS_Direction[i][j] = 0;
 67         }
 68     }
 69 
 70     cout<<"Init OK!"<<endl;
 71 
 72     for(int i = 0; i <nLen1; i++)
 73     {
 74         for(int j = 0; j < nLen2; j++)
 75         {
 76             if(i == 0 || j == 0)
 77             {
 78                 if(str1[i] == str2[j])
 79                 {
 80                     LCS_Length[i][j] = 1;
 81                     LCS_Direction[i][j] = 1;
 82                 }
 83                 else
 84                     LCS_Length[i][j] = 0;
 85             }
 86             else if(str1[i] == str2[j])
 87             {
 88                 LCS_Length[i][j] = LCS_Length[i - 1][j - 1] + 1;
 89                 LCS_Direction[i][j] = 1;
 90             }
 91             else if(LCS_Length[i - 1][j] > LCS_Length[i][j - 1])
 92             {
 93                 LCS_Length[i][j] = LCS_Length[i - 1][j];
 94                 LCS_Direction[i][j] = 2;
 95             }
 96             else
 97             {
 98                 LCS_Length[i][j] = LCS_Length[i][j - 1];
 99                 LCS_Direction[i][j] = 3;
100             }
101         }
102     }
103 
104     LCS_Print(LCS_Direction, str1, nLen1 - 1, nLen2 - 1);
105     cout<<endl;
106     int nLCS = LCS_Length[nLen1 - 1][nLen2 - 1];
107     for(int i = 0; i < nLen1; i++)
108     {
109         delete[] LCS_Length[i];
110         delete[] LCS_Direction[i];
111     }
112     delete [] LCS_Length;
113     delete [] LCS_Direction;
114     return nLCS;
115 }
116 
117 int main()
118 {
119     cout<<LCS("ABCBDAB", "BDCABA")<<endl;
120     return 0;
121 }
复制代码

  1 #include <iostream>
  2 #include <stdio.h>
  3 #include <string>
  4 #include <string.h>
  5 
  6 using namespace std;
  7 
  8 void LCS_Print(int **LCS_Direction, char *str, int row, int column)
  9 {
 10     if(str == NULL)
 11         return;
 12 
 13     int nLen1 = strlen(str);
 14 
 15     if(nLen1 == 0 || row < 0 || column < 0)
 16         return;
 17     
 18     if(LCS_Direction[row][column] == 1)
 19     {
 20         if(row > 0 && column > 0)
 21             LCS_Print(LCS_Direction, str, row - 1, column - 1);
 22         printf("%c ", str[row]);
 23     }
 24     else if(LCS_Direction[row][column] == 2)
 25     {
 26         if(row > 0)
 27             LCS_Print(LCS_Direction, str, row - 1, column);
 28     }
 29     else if(LCS_Direction[row][column] == 3)
 30     {
 31         if(column > 0)
 32             LCS_Print(LCS_Direction, str, row, column - 1);
 33     }
 34 }
 35 
 36 int LCS(char *str1, char *str2)
 37 {
 38     if(str1 == NULL || str2 == NULL)
 39         return 0;
 40 
 41     int nLen1 = strlen(str1);
 42     int nLen2 = strlen(str2);
 43 
 44     if(nLen1 <= 0 || nLen2 <= 0)
 45         return 0;
 46 
 47     // 申请一个二维数组，保存不同位置的LCS值
 48     int **LCS_Length = new int*[nLen1];
 49     // 申请一个二维数组，保存公共序列的位置
 50     int **LCS_Direction = new int*[nLen1];
 51     for(int i = 0; i < nLen1; i++)
 52     {
 53         LCS_Length[i] = new int[nLen2];
 54         LCS_Direction[i] = new int[nLen2];
 55     }
 56 
 57     for(int i = 0; i < nLen1; i++)
 58         LCS_Length[i][0] = 0;
 59     for(int i = 0; i < nLen2; i++)
 60         LCS_Length[0][i] = 0;
 61     
 62     for(int i = 0; i < nLen1; i++)
 63     {
 64         for(int j = 0; j < nLen2; j++)
 65         {
 66             LCS_Direction[i][j] = 0;
 67         }
 68     }
 69 
 70     cout<<"Init OK!"<<endl;
 71 
 72     for(int i = 0; i <nLen1; i++)
 73     {
 74         for(int j = 0; j < nLen2; j++)
 75         {
 76             if(i == 0 || j == 0)
 77             {
 78                 if(str1[i] == str2[j])
 79                 {
 80                     LCS_Length[i][j] = 1;
 81                     LCS_Direction[i][j] = 1;
 82                 }
 83                 else
 84                     LCS_Length[i][j] = 0;
 85             }
 86             else if(str1[i] == str2[j])
 87             {
 88                 LCS_Length[i][j] = LCS_Length[i - 1][j - 1] + 1;
 89                 LCS_Direction[i][j] = 1;
 90             }
 91             else if(LCS_Length[i - 1][j] > LCS_Length[i][j - 1])
 92             {
 93                 LCS_Length[i][j] = LCS_Length[i - 1][j];
 94                 LCS_Direction[i][j] = 2;
 95             }
 96             else
 97             {
 98                 LCS_Length[i][j] = LCS_Length[i][j - 1];
 99                 LCS_Direction[i][j] = 3;
100             }
101         }
102     }
103 
104     LCS_Print(LCS_Direction, str1, nLen1 - 1, nLen2 - 1);
105     cout<<endl;
106     int nLCS = LCS_Length[nLen1 - 1][nLen2 - 1];
107     for(int i = 0; i < nLen1; i++)
108     {
109         delete[] LCS_Length[i];
110         delete[] LCS_Direction[i];
111     }
112     delete [] LCS_Length;
113     delete [] LCS_Direction;
114     return nLCS;
115 }
116 
117 int main()
118 {
119     cout<<LCS("ABCBDAB", "BDCABA")<<endl;
120     return 0;
121 }