• 如何理解快速排序的时间复杂度是O(nlogn)


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    选择排序、冒泡排序等算法的时间复杂度都比较好理解,但不是很清楚快速排序的时间复杂度为什么是O(nlogn)。从《算法图解》中看到的思路,很赞,解决了一直以来的疑惑。

    引用自《算法图解》:

    快速排序的情况比较棘手,在最糟情况下,其运行时间为O(n2)。。在平均情况下,快速排序的运行时间为O(nlogn)。

    平均情况与最糟情况

    快速排序的性能高度依赖于你选择的基准值。

    • 最糟情况
      假设你总是将第一个元素用作基准值,且要处理的数组是有序的。由于快速排序算法不检查输入数组是否有序,因此它依然尝试对其进行排序。注意,数组并没有被分成两半,相反,其中一个子数组始终为空,这导致调用栈非常长。在这里插入图片描述
    • 平均情况
      假设你总是将中间的元素用作基准值,在这种情况下,调用栈如下。 调用栈短得多!因为你每次都将数组分成两半,所以不需要那么多递归调用。你很快就到达 了基线条件,因此调用栈短得多。
      在这里插入图片描述
      第一个示例展示的是最糟情况,而第二个示例展示的是最佳情况。在最糟情况下,栈长为 O(n),而在最佳情况下,栈长为O(log n)。

    现在来看看栈的第一层。你将一个元素用作基准值,并将其他的元素划分到两个子数组中。 这涉及数组中的全部8个元素,因此该操作的时间为O(n)。在调用栈的第一层,涉及全部8个元素, 但实际上,在调用栈的每层都涉及O(n)个元素。
    在这里插入图片描述
    即便以不同的方式划分数组,每次也将涉及O(n)个元素。
    在这里插入图片描述
    在这个示例中,调用栈的高度为O(log n),而每层需要的时间为O(n)。因此整个算法需要的时间为O(n) * O(log n) = O(n log n)。这就是最佳情况。 在最糟情况下,有O(n)层,因此该算法的运行时间为O(n) * O(n) = O(n2)。

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