剑指 Offer 41. 数据流中的中位数

思路

方法一：简单排序

将数字存储在可调整大小的容器中。每次需要输出中间值时，对容器进行排序并输出中间值。

复杂度分析

时间复杂度：O(nlogn)+O(1)≃O(nlogn)。

添加一个数字对于一个有效调整大小方案的容器来说需要花费 O(1) 的时间。
找到中间值主要取决于发生的排序。对于标准比较排序，这需要 O(nlogn) 时间。

空间复杂度：O(n) 线性空间，用于在容器中保存输入。除了需要的空间之外没有其他空间（因为通常可以在适当的位置进行排序）。

方法二：插入排序

保持输入容器始终排序。

复杂度分析

时间复杂度：O(n)+O(logn)≈O(n).

二分搜索需要花费 O(logn) 时间才能找到正确的插入位置。
插入可能需要花费 O(n) 的时间，因为必须在容器中移动元素为新元素腾出空间。

空间复杂度：O(n) 线性空间，用于在容器中保存输入。

方法三：一个大顶堆 + 一个小顶堆

一个大顶堆maxHeap, 一个小顶堆minHeap，大顶堆保存前一半的元素，小顶堆保存后一半的元素。

与此同时，始终保持两个堆的大小之差不超过1。

为了保证这两个堆大小之差不超过1，对于元素num的插入过程需分为以下3种情况：

(1) 大顶堆的元素个数 = 小顶堆的元素个数

　　两个堆大小相等，如果小顶堆为空或者待插入的元素num≥小顶堆的堆顶元素，则直接把num插入小顶堆中；

　　否则，把num插入大顶堆中。

(2) 大顶堆的元素个数 < 小顶堆的元素个数

　　如果待插入的元素num≤小顶堆的堆顶元素，则直接把num插入大顶堆中；

　　否则，弹出小顶堆的堆顶元素，并将其插入大顶堆，之后把num插入小顶堆。

(3) 大顶堆的元素个数 > 小顶堆的元素个数

　　如果待插入的元素num≥大顶堆的堆顶元素，则直接把num插入小顶堆中；

　　否则，弹出大顶堆的堆顶元素，并将其插入小顶堆，之后把num插入大顶堆。

复杂度分析

时间复杂度：O(logn)。堆的插入删除操作都是O(logn)。

空间复杂度：O(n) 。小顶堆 和大顶堆一共同时保存 n 个元素。

class MedianFinder {
private:
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap;
    priority_queue<int, vector<int>, less<int>> maxHeap;
public:
    /** initialize your data structure here. */
    MedianFinder() {

    }
    
    /*始终保持两个堆的大小之差不超过1*/
    void addNum(int num) {
        if(maxHeap.size() == minHeap.size()) {
            /*如果两个堆大小相等*/
            if(minHeap.empty()) {
                minHeap.push(num);
                return;
            }

            if(num >= minHeap.top()) {
                minHeap.push(num);
            } else {
                maxHeap.push(num);
            }

        } else if(maxHeap.size() < minHeap.size()) {
            /*如果大顶堆的元素少于小顶堆*/
            if(num <= minHeap.top()) {
                maxHeap.push(num);
            } else {
                maxHeap.push(minHeap.top());
                minHeap.pop();
                minHeap.push(num);
            }

        } else {
            /*如果大顶堆的元素多于小顶堆*/
            if(num >= maxHeap.top()) {
                minHeap.push(num);
            } else {
                minHeap.push(maxHeap.top());
                maxHeap.pop();
                maxHeap.push(num);
            }
        }
    }
    
    double findMedian() {
        if(maxHeap.size() == minHeap.size()) {
            return (maxHeap.top() + minHeap.top()) / 2.0;
        } else if(maxHeap.size() < minHeap.size()) {
            return minHeap.top();
        } else {
            return maxHeap.top();
        }
    }
};

/**
 * Your MedianFinder object will be instantiated and called as such:
 * MedianFinder* obj = new MedianFinder();
 * obj->addNum(num);
 * double param_2 = obj->findMedian();
 */

参考

力扣官方题解 - 数据流的中位数