卡特兰数的计算

卡特兰数的介绍见：卡特兰数及其应用 

各公式求解算法

 公式1和公式2可以使用循环递推来求，公式3和公式4，可以先写一个函数求出组合数C(n,m)，再用组合数进行计算。

 可以使用以下递推式来求组合数C(n,m)，C(n,m)可以用二维数组C[n][m]表示，通过以下公式，可以递推得出每一项的C[i][j]的值。

组合数的计算见：组合数大小的求法

注意：如果这个数太大，那么题目可能会要求取模，此时使用第4个公式更好。因为加减运算对取模结果没有影响。

 

代码实现

/* 公式1 */
#define MAXN 20
int h[MAXN];
int n;
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    h[0] = 1;
    h[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++i) 
    {
        for(int j = 0; j <= i-1; ++j)
        {
            h[i] += h[j] * h[i-1-j];
        }
    }
    
    printf("%d ", h[n]);
    
    return 0;
}


/* 公式2 */
#define MAXN 20
int h[MAXN];
int n;
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    h[0] = 1;
    h[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++i) 
    {
        h[i] = h[i-1] * (4*i-2) / (i+1);  
    }
    
    printf("%d ", h[n]);
    
    return 0;
}


/* 公式3 */
#define MAXN 20
int C[MAXN][MAXN];
int n;
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= 2*n; ++i) 
    {
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; ++j)
        {
            C[i][j] = C[i-1][j-1] + C[i-1][j];
        }
    }
    
    printf("%d ", C[2*n][n]/(n+1));
    
    return 0;
}


/* 公式4 */
#define MAXN 20
int C[MAXN][MAXN];
int n;
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= 2*n; ++i) 
    {
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; ++j)
        {
            C[i][j] = C[i-1][j-1] + C[i-1][j];
        }
    }
    
    printf("%d ", C[2*n][n] - C[2*n][n+1]);
    
    return 0;
}