P1073 最优贸易 (tarjan缩点+dp)

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1073。

C国有n n n个大城市和m mm 条道路，每条道路连接这 nnn个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 mmm 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 11 1条。

CC C国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 CCC 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 CCC 国 n 个城市的标号从 1 n1~ n1 n，阿龙决定从 11 1号城市出发，并最终在 nnn 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 nnn 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 CCC 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

方法：

此题好多方法可解。比如2*SPFA, 分层图+SPFA.

此文主要用tarjan+dp.

$minp[v]=min(minp[v],minp[u])$
$dp[v]=max(dp[v],max(dp[u],maxp[v]-minp[v]))$

Code:

#include <bits/stdc++.h>
# define LL long long
using namespace std;

const int maxn=100000+10;
const int maxm=500000+10;
int n,m;
int price[maxn];

struct Edge{
    int to,next;
};
Edge e[maxm<<1];
int head[maxn];
int en;

Edge e1[maxm<<1]; //缩点后新图
int head1[maxn];
int en1;

//tarjan组员
int dict[maxn],low[maxn];
int instack[maxn];
stack<int> stk;
int color;
int col[maxn];
int maxp[maxn];   //一个scc中的最大价值
int minp[maxn];　　//一个scc中的最小价值
int timer;

//dp组员
int indegree[maxn]; 
int dp[maxn];
queue<int> q;

void add(int from, int to){
    e[en].next=head[from];
    e[en].to=to;
    head[from]=en;
    ++en;
}

void add1(int from, int to){
    e1[en1].next=head1[from];
    e1[en1].to=to;
    head1[from]=en1;
    ++en1;
}

void tarjan(int u){
    instack[u]=1;
    stk.push(u);
    ++timer;
    dict[u]=low[u]=timer;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if(dict[v]==-1){
            tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
        }else{
            if(instack[v]){
                low[u]=min(low[u],dict[v]);
            }
        }
    }
    if(low[u]==dict[u]){
        ++color;
        while(stk.top()!=u){
            int t=stk.top();
            stk.pop();
            instack[t]=0;
            col[t]=color;
            maxp[color]=max(maxp[color],price[t]);
            minp[color]=min(minp[color],price[t]);
        }
        stk.pop();
        instack[u]=0;
        col[u]=color;
        maxp[color]=max(maxp[color],price[u]);
        minp[color]=min(minp[color],price[u]);
    }
}

int helper(){
    int start=col[1];
    dp[start]=max(0,maxp[start]-minp[start]);
    q.push(start);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head1[u];i!=-1;i=e1[i].next){
            int v=e1[i].to;
            minp[v]=min(minp[v],minp[u]);
            dp[v]=max(dp[v],max(dp[u],maxp[v]-minp[v]));
            indegree[v]--;
            if(indegree[v]==0){
                q.push(v);
            }
        }
    }
    return dp[col[n]];
}

int main(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    memset(head1,-1,sizeof(head1));
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d", price+i);
    }
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int a, b, c;
        scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
        add(a,b);
        if(c==2){
            add(b,a);
        }
    }

    memset(dict,-1,sizeof(dict));
    memset(minp,127,sizeof(minp));
    tarjan(1);

    vector<set<int>> nadj(color+1);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        if(dict[i]==-1) continue;  //筛掉从1不可到的点
        for(int j=head[i];j!=-1;j=e[j].next){
            int v=e[j].to;
            if(dict[v]==-1) continue;   //筛掉从1不可到的点
            int nu=col[i];
            int nv=col[v];
            if(nu==nv) continue;
            if(nadj[nu].find(nv)==nadj[nu].end()){
                nadj[nu].insert(nv);
                add1(nu,nv);
                indegree[nv]++;
            }
        }
    }

    int res=helper();
    printf("%d", res);
}