Jzoj5636 Power

近期没有写过博客感觉要死了->重返jz深造

一道区间查询的问题，因为模数不是质数，我们考虑利用指数循环节这个东西：

x^k=x^(k%phi(M)+phi(M))%M 这里要求k>=phi(M)

那么可以写成Ans[l,r]%M=x^(Ans[l+1,r]%phi(M))%M

由于phi的迭代会在logn次收敛为1，所以我们可以直接递归来做

先用线性筛筛出10^7以内的phi值，大过这个的就分解质因数来计算

注意一个问题，对于一个询问[l,r]，有可能answer[l+1,r]并不能达到phi(M)，这个时候就不能使用上面的结论

至于如何判断一个区间的答案是否大过模数，可以做一次不带取模的pow和一次带取模的，如果两次答案不同就说明答案大过模数

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define N 10000000
#define LL long long
using namespace std;
int n,m,M,s[100010]; bool vis[N+10];
int t=0,w[N>>2],phi[N+10];
inline LL bow(LL x,LL k,LL s=1){
	for(;k;x=x*x,k>>=1) k&1?s=s*x:0;
	return s;
}
inline LL pow(LL x,LL k,LL M,LL s=1){
	for(;k;x=x*x%M,k>>=1) k&1?s=s*x%M:0;
	return s;
}
inline int cphi(int M){
	int T=M;
	for(int i=1;w[i]*w[i]<=M;++i)
		if(M%w[i]==0) for(T=T/w[i]*(w[i]-1);M%w[i]==0;M/=w[i]);
	if(M>1) T=T/M*(M-1);
	return T;
}
inline bool gcd(int l,int r,int M,int& S){
	if(M==1){ S=0; return 1; }
	if(l==r){ S=s[l]%M; return s[l]>=M; }
	int ph=(M<=N?phi[M]:cphi(M));
	if(gcd(l+1,r,ph,S)){
		S=pow(s[l],ph+S,M);
		return s[l]>=1;
	} else {
		int T=bow(s[l],S);
		S=pow(s[l],S,M);
		return S!=T;
	}
}
int main(){
	freopen("power.in","r",stdin);
	freopen("power.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&M);
	for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",s+i);
	for(int i=2;i<=N;++i){
		if(!vis[i]) phi[w[++t]=i]=i-1;
		for(int j=1;j<=t && i*w[j]<=N;++j){
			vis[i*w[j]]=1;
			if(i%w[j]==0){ phi[i*w[j]]=phi[i]*w[j]; break; }
			phi[i*w[j]]=phi[i]*(w[j]-1);
		}
	}
	scanf("%d",&m);
	for(int l,r;m--;){
		scanf("%d%d",&l,&r);
		gcd(l,r,M,r);
		printf("%d
",r);
	}
}