备注:一共是考两门:数学和物理各45分钟,数学一共三道题目
1. (2022年南京大学强基计划)设$n>1$为正整数,证明:
$$
\left( \frac{n+1}{3} \right) ^n< n! <\left( \frac{n+1}{2} \right) ^n.
$$
解法一. 先证明
$$
2<\left( 1+\frac{1}{n} \right) ^n<3.
$$
事实上,
$$\begin{aligned}
2 &<\left( 1+\frac{1}{n} \right) ^n=1+C_{n}^{1}\frac{1}{n}+C_{n}^{2}\frac{1}{n^2}+\cdots +C_{n}^{k}\frac{1}{n^k}+\cdots +C_{n}^{n}\frac{1}{n^n}
\\
&=2+\frac{1}{2!}\left( 1-\frac{1}{n} \right) +\cdots +\frac{1}{k!}\left( 1-\frac{1}{n} \right) \cdots \left( 1-\frac{k-1}{n} \right) \\
&\quad+\cdots +\frac{1}{n!}\left( 1-\frac{1}{n} \right) \cdots \left( 1-\frac{n-1}{n} \right)
\\
&<2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}
\\
&<2+\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots +\frac{1}{\left( n-1 \right) \times n}
\\
&=3-\frac{1}{n}<3.
\end{aligned}$$
由
$$
2<\left( 1+\frac{1}{n} \right) ^n=\frac{\left( n+1 \right) ^n}{n^n}=\frac{\left( n+1 \right) ^n}{n^{n-1}}\cdot \frac{1}{n}<3
$$
可得
$$
2n<\frac{\left( n+1 \right) ^n}{n^{n-1}}<3n.
$$
令$n=1,2,\cdots,n$,分别得到$n$个不等式,将这$n$个不等式相乘可得
$$
2^nn!<\left( n+1 \right) ^n<3^nn!,
$$
整理得
$$
\left( \frac{n+1}{3} \right) ^n< n!<\left( \frac{n+1}{2} \right) ^n.
$$
解法二. 由均值不等式可得
$$
\sqrt{k\left( n+1-k \right)}<\frac{n+1}{2}.
$$
令$k=1,2,\cdots,n$,分别得到$n$个不等式,将这$n$个不等式相乘可得
$$
n!<\left( \frac{n+1}{2} \right) ^n.
$$
或者利用$n$元均值不等式可得
$$
n!<\left( \frac{1+2+\cdots +n}{n} \right) ^n=\left( \frac{\frac{n\left( n+1 \right)}{2}}{n} \right) ^n=\left( \frac{n+1}{2} \right) ^n.
$$
在不等式$\ln (1+x)< x$中取$\displaystyle x=\frac{1}{n}$可得
$$
\ln \left( 1+\frac{1}{n} \right) <\frac{1}{n},\quad \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n < e<3.
$$
于是
$$
\frac{\left( n+1 \right) ^n}{n^{n-1}}<3n.
$$
令$n=1,2,\cdots,n$,分别得到$n$个不等式,将这$n$个不等式相乘可得
$$
\left( n+1 \right) ^n<3^nn!,
$$
整理得
$$
\left( \frac{n+1}{3} \right) ^n < n!.
$$
2. (2022年南京大学强基计划)设$\alpha,\beta\in (0,\pi)$,且$\displaystyle\cos\alpha+\cos\beta-\cos(\alpha+ \beta)=\frac{3}{2}$,求$\alpha,\beta$.
解. 由$\displaystyle\cos\alpha+\cos\beta-\cos(\alpha+ \beta)=\frac{3}{2}$可得
$$
2\cos \frac{\alpha +\beta}{2}\cos \frac{\alpha -\beta}{2}-\left( 2\cos ^2\frac{\alpha +\beta}{2}-1 \right) =\frac{3}{2}.
$$
即
$$
\cos \frac{\alpha +\beta}{2}\cos \frac{\alpha -\beta}{2}-\cos ^2\frac{\alpha +\beta}{2}=\frac{1}{4}.
$$
注意到
$$\begin{aligned}
&\cos \frac{\alpha +\beta}{2}\cos \frac{\alpha -\beta}{2}-\cos ^2\frac{\alpha +\beta}{2} \\
&=-\left( \cos \frac{\alpha +\beta}{2}-\frac{1}{2}\cos \frac{\alpha -\beta}{2} \right) ^2+\frac{1}{4}\cos ^2\frac{\alpha -\beta}{2}
\\
&\leqslant \frac{1}{4}\cos ^2\frac{\alpha -\beta}{2}\leqslant \frac{1}{4}.
\end{aligned}$$
当且仅当$\displaystyle\alpha=\beta=\frac{\pi}{3}$时取等号成立.
3. (2022年南京大学强基计划)设$x^2-6x+1=0$的两根为$\displaystyle x_1,x_2,a_n=\frac{x_1^n+x_2^n}{2}$.
(1)求证: $a_n\in \mathbb{Z}$.
(2)求$a_{2022}$的个位数.
(公众号: Xionger的数学小屋)
(1)由$x^2-6x+1=0$的两根为$x_1,x_2$可知$x_1^2-6x_1+1=0$.两边乘以$x_1^{n-2}$可得$x_1^n-6x_1^{n-1}+x_1^{n-2}=0$.同理可得$x_2^n-6x_2^{n-1}+x_2^{n-2}=0$.
两式相加可得
$$
\left( x_{1}^{n}+x_{2}^{n} \right) -6\left( x_{1}^{n-1}+x_{2}^{n-1} \right) +\left( x_{1}^{n-2}+x_{2}^{n-2} \right) =0,
$$
则$a_n-6a_{n-1}+a_{n-2}=0\ (n\geqslant 2)$.
由韦达定理可得
$$
a_1=\frac{x_1+x_2}{2}=3,\quad a_2=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2}=\frac{\left( x_1+x_2 \right) ^2-2x_1x_2}{2}=17.
$$
假设$a_{n-1},a_{n-2}$均为整数,则$a_n=6a_{n-1}-a_{n-2}$也为整数.由数学归纳法可知$a_n\in \mathbb{Z}$.
(2)先找规律, 已知$a_1=3\ (\bmod\ 10),a_2=17\equiv 7\ (\bmod\ 10)$,
$a_3=6a_2-a_1\equiv 6\times 7-3=39\equiv 9\ (\bmod\ 10)$,
$a_4\equiv 7\ (\bmod\ 10),a_5\equiv 3\ (\bmod\ 10)$,
$a_6\equiv 1\ (\bmod\ 10),a_7\equiv 3\ (\bmod\ 10)$,
$a_8\equiv 7\ (\bmod\ 10),\cdots$
利用$a_n=6a_{n-1}-a_{n-2}$结合数学归纳法容易证明:当$n\geqslant 0$为自然数时, $a_{6n+1}=3\ (\bmod\ 10),a_{6n+2}\equiv 7\ (\bmod\ 10)$,
$a_{6n+3}\equiv 9\ (\bmod\ 10),
a_{6n+4}\equiv 7\ (\bmod\ 10)$,
$a_{6n+5}\equiv 3\ (\bmod\ 10),a_{6n+6}\equiv 1\ (\bmod\ 10)$.
由于$2022\equiv 0\ (\bmod\ 6)$,则$a_{2022}\equiv a_6\equiv 1\ (\bmod\ 10)$,则$a_{2022}$的个位数为$1$.