section{中国科学院大学2021年考研数学分析试题}
一.计算
(1) $displaystylelim_{n oinfty}
frac{left(1+frac{1}{n}
ight)^{n^2}}{e^n}$;
(2) $displaystylelim_{x o 0}frac{(1+x)^{frac{1}{x}}-(1+2x)^{frac{1}{2x}}}{sin x}$.
二.设$f$在$mathbb{R}$上连续可微, 且$f(0)=0,f(1)=1$,试证明:
$$int_{0}^{1}|f(x)-f'(x)|dxgeqslant frac{1}{e}.$$
三.设
$$f_n(x)=x+x^2+cdots+x^n\,(n=2,3,cdots)$$
证明: $f_n(x)=1$在$[0,+infty)$内有唯一解,并求$displaystylelim_{n oinfty}x_n$.
四.计算
(1) $displaystyle I=int_{0}^{+infty}int_{0}^{+infty}e^{-left(x^2+y^2 ight)}dxdy$;
(2) $displaystyle J=int_{0}^{+infty}e^{-x^2}dx$.
五.设$f(x)$在$[a,+infty)$内有界可微,且$displaystylelim_ {x o+infty}f'(x)$存在,求证: $displaystylelim_ {x o+infty}f'(x)=0$.
六.判断
$$sum_{n=1}^{infty}left(1-frac{x_n}{x_{n+1}}
ight)$$
的敛散性,其中$x_n\,(ngeqslant 1)$是有界递增的正数列.
七.设$u$关于$x,y$的偏导数存在,且$u=x+ysin u$,证明:
$$frac{partial u}{partial y}=sin ufrac{partial u}{partial x}.$$
八.求
$$I=int_Dfrac{x^2+y^2-2}{left(x^2+y^2
ight)^{frac{5}{2}}}dxdy,$$
其中$D=left{(x,y)|x^2+y^2geqslant 2,xleqslant 1
ight}$.
九.证明:%当$a>0$时,有不等式
$$left|int_{a}^{a+1}sin t^2dt
ight|leqslant frac{1}{a}.quad (a>0)$$
% ewpage
section{中国科学院大学2021年考研高等代数试题}
一. (15分)构造一个次数尽可能低的多项式$f(x)$,满足下述条件:
$$f(1)=0,f'(1)=1,f''(1)=2,f(0)=3,f'(0)=-1.$$
二. (20分)计算下面的行列式$(ngeqslant 2)$
$$
left| egin{matrix}
2+a_1c_1+b_1d_1& a_2c_1+b_2d_1& cdots& a_nc_1+b_nd_1\
a_1c_2+b_1d_2& 2+a_2c_2+b_2d_2& cdots& a_nc_2+b_nd_2\
vdots& vdots& ddots& vdots\
a_1c_n+b_1d_n& a_2c_n+b_2d_n& cdots& 2+a_nc_n+b_nd_n\
end{matrix}
ight|.
$$
%$$left| 2E+left( egin{matrix}{l} c_1& d_1\ c_2& d_2\ vdots& vdots\ c_n& d_n\end{matrix} ight) left( egin{matrix}{l} a_1& a_2& cdots& a_n\ b_1& b_2& cdots& b_n\end{matrix} ight) ight|$$
三. (20分)用正交线性变换将下面二次型化为标准形
$$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2-4x_1x_2-4x_2x_3.$$
四. (15分)设$A$为$n$阶实对称半正定矩阵,证明: $A$的伴随矩阵$A^ast$也是实对称半正定矩阵.
%第i个列向量不能写成前r个列向量线性组合.
五. (20分)设$A=(a_{ij})$是一个$n imes n$的秩为$r$的复矩阵,且$A$的第$r$个顺序主子式不为零,即$Aleft( egin{array}{c}
1,2,cdots,r\
1,2,cdots,r\
end{array}
ight)
eq 0$.证明:如果$r<n$,则对每个$r<ileqslant n$,都存在复数$x_{i,1},cdots,x_{i,r}$,使得对任意$1leqslant jleqslant n$, $a_{i,j}=x_ {i,1}a_{1,j}+x_ {i,2}a_{2,j}+cdots+x_ {i,r}a_{r,j}$.
六. (15分)设$V$是一个有限维复线性空间, $A:V o V$是一个可逆线性变换.如果存在$V$中的一组非零向量$v_1,v_2,cdots,v_m$使得它们张成向量空间$V$,且对所有的$i$,有$A(v_i)in {v_1,cdots,v_m}$.证明: $A$可以对角化,且特征值为单位根.
七. (20分)设$M_n(mathbb{C})$为所有$n$阶复方阵构成的向量空间, $T:M_n(mathbb{C}) o mathbb{C}$为线性映射且满足$T(AB)=T(BA),forall A,Bin M_n(mathbb{C})$.证明: 存在$lambdainmathbb{C}$使得$T(A)= lambdamathrm{tr}(A)$, $forall Ain M_n(mathbb{C})$.
八. (15分)设$A,B$为$n$阶实对称矩阵,且$AB=BA$,证明:存在$n$阶正交矩阵$T$,使得$T^{-1}AT$与$T^{-1}BT$均为对角矩阵.
%https://wenku.baidu.com/view/3993de5365ce0508773213ca.html
%可交换矩阵的对角化问题_魏慧敏
九. (15分)设$A,B,E$都是$n$阶复数方阵, $A,B$非奇异, $E$的元素均为$1$, $m$是不等于$1$的复数, $sigma (W)$表示矩阵$W$的所有元素之和.
(1) 若$A+B=mE$,证明:
$$
left[ 1-msigma left( A^{-1}
ight)
ight] left[ 1-msigma left( B^{-1}
ight)
ight] =1.
$$
(2) 问结论(1)的逆命题是否成立.若成立,证明之;若不成立,试举一反例.
每份考研题的回忆版都隐藏着不为人知的故事，有人欢喜有人愁，我愿意尽我的一份力，将此试卷流传下来！
特别感谢中科院数学系统院考研QQ群群友:斓、ScxKnight、氮-1萘基乙二胺盐酸钾等人提供的帮助。我比对了网上几个版本的真题回忆版，还原出了以下两份真题，作为Xionger对考研岁月、对朝理想方向勇敢前行的追光者的致敬！