• 树上最小权链覆盖:可并堆


    题目描述

    给出一棵树和若干条直上直下的链,每条链有权值(非负)

    用权值和尽量小的链覆盖树上所有的点

    (n,m leq 1e6)

    分析

    猫老师课件上的题。

    先考虑本问题在链上的形式,即最小权区间覆盖,这个问题有一个经典做法,即使用线段树优化DP。但是我们发现,由于树的形态,这个算法在树上不具有较强的扩展性(或许是因为博主太弱了没想到)。实际上,最小权区间覆盖问题也可以使用一个堆来解决。具体算法是:把所有区间按左端点排序,维护一个小根堆,堆中存的是一些二元组((c,d)),其中(c)是关键字,表示的是可以用(c)的代价覆盖([1,d])这段区间。从左往右扫所有区间,每扫到一个权值为(w)区间([l,r]),就把二元组((min_{in ext{heap}} {c}+w,r))加入堆中,当处理完所有左端点为(l)的区间后,删除堆中所有(d<l)的二元组。因为我们选择的区间不可能存在包含关系,所以算法正确性显然。

    这个算法可以通过支持合并的数据结构扩展到树上,这里我们使用左偏树实现的可并堆。在树上多个子树的堆合并前,每个堆的所有元素要加上其他堆的(min c)之和。

    代码

    未经过对拍,不保证其正确性。

    #include <bits/stdc++.h>
    #define rin(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);++i)
    #define irin(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);--i)
    #define trav(i,a) for(register int i=head[a];i;i=e[i].nxt)
    typedef long long LL;
    using std::cin;
    using std::cout;
    using std::endl;
    
    inline int read(){
    	int x=0,f=1;char ch=getchar();
    	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    	while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    	return x*f;
    }
    
    const int MAXN=1e6+5;
    
    int n,m,ecnt,head[MAXN];
    int dep[MAXN];
    LL minf[MAXN];
    int root[MAXN],tot;
    
    struct Edge{
    	int to,nxt;
    }e[MAXN<<1];
    
    struct path{
    	int top,val;
    };
    
    std::vector<path> vec[MAXN];
    
    struct leftist{
    	int ch[2];
    	int dis,dep;
    	LL dat,tag;
    }lt[MAXN];
    
    inline void add_edge(int bg,int ed){
    	++ecnt;
    	e[ecnt].to=ed;
    	e[ecnt].nxt=head[bg];
    	head[bg]=ecnt;
    }
    
    void dfs1(int x,int pre,int depth){
    	dep[x]=depth;
    	trav(i,x){
    		int ver=e[i].to;
    		if(ver==pre) continue;
    		dfs1(ver,x,depth+1);
    	}
    }
    
    #define lc lt[x].ch[0]
    #define rc lt[x].ch[1]
    
    inline void pushtag(int x,LL _kk){
    	lt[x].dat+=_kk;
    	lt[x].tag+=_kk;
    }
    
    inline void pushdown(int x){
    	if(!lt[x].tag) return;
    	if(lc) pushtag(lc,lt[x].tag);
    	if(rc) pushtag(rc,lt[x].tag);
    	lt[x].tag=0;
    }
    
    int merge(int x,int y){
    	if(!x||!y) return x+y;
    	pushdown(x);pushdown(y);
    	if(lt[x].dat>lt[y].dat) std::swap(x,y);
    	rc=merge(rc,y);
    	if(lt[lc].dis<lt[rc].dis) std::swap(lc,rc);
    	lt[x].dis=lt[rc].dis+1;
    	return x;
    }
    
    int del(int x){
    	pushdown(x);
    	return merge(lc,rc);
    }
    
    #undef lc
    #undef rc
    
    void dfs2(int x,int pre){
    	LL temp=0;
    	trav(i,x){
    		int ver=e[i].to;
    		if(ver==pre) continue;
    		dfs2(ver,x);
    		temp+=minf[ver];
    	}
    	rin(i,0,(int)vec[x].size()-1){
    		lt[++tot]=(leftist){0,0,1,vec[x][i].top,vec[x][i].val+temp,0};
    		root[x]=merge(root[x],tot);
    	}
    	trav(i,x){
    		int ver=e[i].to;
    		if(ver==pre) continue;
    		pushtag(root[ver],temp-minf[ver]);
    		root[x]=merge(root[x],root[ver]);
    	}
    	while(lt[root[x]].dep>dep[x]) root[x]=del(root[x]);
    	minf[x]=lt[root[x]].dat;
    }
    
    int main(){
    	n=read();
    	rin(i,2,n){
    		int u=read(),v=read();
    		add_edge(u,v);
    		add_edge(v,u);
    	}
    	dfs1(1,0,1);
    	m=read();
    	rin(i,1,m){
    		int u=read(),v=read(),w=read();
    		if(dep[u]<dep[v]) std::swap(u,v);
    		vec[u].push_back((path){dep[v],w});
    	}
    	dfs2(1,0);
    	printf("%lld
    ",minf[1]);
    	return 0;
    }
    
    /*
    7
    1 2
    1 3
    2 4
    2 5
    3 6
    3 7
    6
    1 4 3
    1 5 2
    2 5 1
    1 6 5
    6 6 1
    3 7 2
    
    7
    */
    
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