FWT/FMT 快速莫比乌斯/沃尔什变换 学习笔记
学的时候比较匆忙，于是就学一个 \(\texttt{or,and,xor}\) 卷积跑路。
P4717 【模板】快速莫比乌斯/沃尔什变换 (FMT/FWT)
前置知识：高维前缀和，下面前缀和的操作大多都是用高维前缀和来实现的。
大致内容
设有两个长度为 \(2^n\) 的序列 \(A,B\)，现在我们要对他们进行一下不同类型的卷积。
（跳过所有推导过程）有模板如下：
struct FWT
{
int n;
inline int ksm(int x,int y)
{
int ret=1;
for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod) if(y&1) ret=1ll*ret*x%mod;
return ret;
}
inline void bitmul(int *a,int *b)
{ for(int i=0;i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod; }
inline void fwt_or(int *a,int opt)
{
for(int p=2;p<=n;p<<=1) for(int i=0;i<n;i+=p) for(int j=0;j<(p>>1);j++)
(a[i+j+(p>>1)]+=1ll*a[i+j]*opt%mod)%=mod;
}
inline void fwt_and(int *a,int opt)
{
for(int p=2;p<=n;p<<=1) for(int i=0;i<n;i+=p) for(int j=0;j<(p>>1);j++)
(a[i+j]+=1ll*a[i+j+(p>>1)]*opt%mod)%=mod;
}
inline void fwt_xor(int *a,int opt)
{
for(int p=2;p<=n;p<<=1) for(int i=0;i<n;i+=p) for(int j=0;j<(p>>1);j++)
{
int x=a[i+j],y=a[i+j+(p>>1)];
a[i+j]=1ll*(x+y)%mod*opt%mod;
a[i+j+(p>>1)]=1ll*(x-y+mod)%mod*opt%mod;
}
}
}P;
\(\bigstar\texttt{Important}\)：由于每个二进制位其实都是等价的，所以在下面的情况中我们都只用考虑 \(n=1\) 的情况。
\(\texttt{or}\) 卷积
\[C_k=\sum_{i~\texttt{or}~j=k}A_i\times B_j
\]
\[C_0=A_0\times B_0\\
C_1=A_0\times B_1+A_1\times B_0+A_1\times B_1\\
C_0+C_1=(A_0+A_1)\times (B_0+B_1)
\]
受到面式子的启发，考虑将 \(A,B\) 分别进行一次前缀和，每一个对应为乘起来记为 \(C\)，再对 \(C\) 做一遍前缀差即可。
memcpy(A,a,sizeof(a)),memcpy(B,b,sizeof(b));
P.fwt_or(A,1),P.fwt_or(B,1),P.bitmul(A,B),P.fwt_or(A,mod-1);
for(int i=0;i<All;i++) printf("%d ",A[i]);
printf("\n");
\(\texttt{and}\) 卷积
\[C_k=\sum_{i~\texttt{and}~j=k}A_i\times B_j
\]
\[C_0=A_0\times B_0+A_0\times B_1+A_1\times B_0\\
C_1=A_1\times B_1\\
C_0+C_1=(A_0+A_1)\times (B_0+B_1)
\]
将 \(A,B\) 都做一遍后缀和，按位乘起来记为 \(C\)，再对 \(C\) 做一遍后缀差即可。
memcpy(A,a,sizeof(a)),memcpy(B,b,sizeof(b));
P.fwt_and(A,1),P.fwt_and(B,1),P.bitmul(A,B),P.fwt_and(A,mod-1);
for(int i=0;i<All;i++) printf("%d ",A[i]);
printf("\n");
\(\texttt{xor}\) 卷积
\[C_k=\sum_{i~\texttt{xor}~j=k}A_i\times B_j
\]
\[C_0=A_0\times B_0+A_1\times B_1\\
C_1=A_0\times B_1+A_1\times B_0\\
\begin{cases}
C_0+C_1=(A_0+A_1)\times (B_0+B_1)\\
C_0-C_1=(A_0-A_1)\times (B_0-B_1)
\end{cases}
\]
那么根据高维前缀和每一位相减过去即可。
memcpy(A,a,sizeof(a)),memcpy(B,b,sizeof(b));
P.fwt_xor(A,1),P.fwt_xor(B,1),P.bitmul(A,B),P.fwt_xor(A,P.ksm(2,mod-2));
for(int i=0;i<All;i++) printf("%d ",A[i]);
printf("\n");
例题
P6097 【模板】子集卷积
给定两个长度为 \(2^n\) 的序列 \(\{A\},\{B\}\)，需要求出一个长度为 \(2^n\) 的序列 \(\{C\}\) 满足：
\[C_k=\sum_{i~\texttt{and}~j=0;i~\texttt{or}~j=k} A_i\times B_j \]\(n\le 20\)，答案对 \(10^9+9\) 取模。
容易发现每次拼接都和元素个数有关，可以将上面的式子转化为：（将每一个二进制数表示为一个集合）
\[\begin{aligned}
C_{S}&=\sum_{|P|+|Q|=|S|;P~\texttt{or}~Q=S}A_P\times B_Q\\
&=\sum_{|P|+|Q|=|S|}A_{P}\text{和}B_{Q}\text{的 or 卷积}
\end{aligned}
\]
接下来需要求两个集合的卷积，设：
\[F(i,S)=\sum_{T\in S,|T|=i}A_T\\
G(i,S)=\sum_{T\in S,|T|=i}B_T\\
H(i,S)=\sum_{j=0}^iF(j,S)\times G(i-j,S)
\]
由于 \(H\) 中会出现没有包含所有元素的情况，所以对 \(H\) 做一次 Ifwt_or 即可。