分层图：
将原图分为许多层，通过层与层之间的关系来转移。
应用：
一般会和最短路一起考查，题目中会对最短路做一些限制条件，有些就可以通过建分层图来跑最短路。
例题引入：
飞行路线：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2763
https://www.luogu.org/problemnew/show/P4568
Alice和Bob现在要乘飞机旅行，他们选择了一家相对便宜的航空公司。该航空公司一共在n个城市设有业务，设这些城市分别标记为0到n-1，一共有m种航线，每种航线连接两个城市，并且航线有一定的价格。Alice和Bob现在要从一个城市沿着航线到达另一个城市，途中可以进行转机。航空公司对他们这次旅行也推出优惠，他们可以免费在最多k种航线上搭乘飞机。那么Alice和Bob这次出行最少花费多少？
例题解答：
题目中本意是求最短路，但因为加了可以将最多K条边的费用变为0，所以不可以直接跑最短路，又因为k很小，所以可以用分层图+最短路解决此题了。
用dis[u][x]表示到第v个城市已经用了x次免费机会后的最短距离，对于u的下一个城市v，此时到达v的最短距离有两种可能：
1.dis[v][x]=dis[u][x]+p[i].val（u->v这条边不免费）
2.dis[v][x+1]=dis[u][x](u->v这条边免费)
用优先队列优化的Dijkstra一直这样做完就可以了，最后的答案是min{dis[t][i]},0<=i<=k。
还有一种建虚拟节点建边的方式可以实现分层图，也就是将u的下一个城市分为k+1（包括k==0）种状态连边，每一层中点与点之间的边的val同原图，但层与层间的边val为0
然后就变成了各自层内不免费但层与层内免费的状态了，再跑最短路即可。
下图是样例的建边图示，蓝色的边和绿色的边val不变，黑色的边val=0,5-9为新建的虚拟节点，绿色和黑色的边是新建的虚拟边。
图片来自：https://www.luogu.org/blog/ACdreamer/solution-p4568
通过实测证明后一种虽然比较容易实现，但是在时间和空间上都没有前者优。
下图第二个是第一种解法，第一个是第二种解法。
代码实现：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define re register int #define ll long long #define INF 0x3f3f3f3f #define maxn 10009 #define maxm 50009 inline ll read() { ll x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ll)(ch-'0');ch=getchar();} return x*f; } int head[maxn]; struct edge { int to,nxt; ll val; }p[maxm<<1]; bool vis[maxn][19]; struct node { int id,cnt;//id为城市编号，cnt为已经用的免费次数 ll dist; bool operator < (const node &temp) const//重载小于运算符，因为优先队列默认为大根堆 { return dist>temp.dist; } }city[maxm<<1][19]; int n,m,k,tot,s,t,cnt; ll ans; void add(int x,int y,ll z) { ++cnt,p[cnt].to=y,p[cnt].val=z,p[cnt].nxt=head[x],head[x]=cnt; } void Dijkstra() { priority_queue<node>q; memset(vis,0,sizeof(vis)); for(int i=0;i<=n;i++) for(int j=0;j<=k;j++) city[i][j].dist=INF; city[s][0]={s,0,0}; q.push(city[s][0]); while(q.size()) { node now=q.top();q.pop(); int u=now.id,x=now.cnt; // cout<<"no "<<u<<" "<<x<<" "<<now.dist<<endl; if(vis[u][x]) continue; vis[u][x]=1; // cout<<"yes "<<u<<" "<<x<<" "<<now.dist<<endl; for(int i=head[u];i;i=p[i].nxt) { int v=p[i].to; // cout<<"nice "<<u<<" "<<v<<endl; if(city[v][x].dist>city[u][x].dist+p[i].val)//不免费 { city[v][x].dist=city[u][x].dist+p[i].val; city[v][x]={v,x,city[v][x].dist}; q.push(city[v][x]); } if(x+1<=k&&city[v][x+1].dist>city[u][x].dist)//免费 { city[v][x+1].dist=city[u][x].dist; city[v][x+1]={v,x+1,city[v][x+1].dist}; q.push(city[v][x+1]); } } } } int main() { // freopen(".in","r",stdin); // freopen(".out","w",stdout); n=read(),m=read(),k=read(); s=read(),t=read(); for(int i=1;i<=m;i++) { int x=read(),y=read(); ll z=read(); add(x,y,z),add(y,x,z); } Dijkstra(); ans=INF; for(int i=0;i<=k;i++) ans=min(ans,city[t][i].dist); printf("%lld ",ans); fclose(stdin); fclose(stdout); return 0; }
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define re register int #define ll long long #define INF 0x3f3f3f3f #define maxn 110005 #define maxm 2500001 inline ll read() { ll x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ll)(ch-'0');ch=getchar();} return x*f; } bool vis[maxn]; int head[maxn]; ll dis[maxn]; struct edge { int to,nxt; ll val; }p[maxm]; int n,m,k,tot,s,t,cnt; typedef pair <ll,int> pa; priority_queue <pa,vector<pa>,greater<pa> > q; void add(int x,int y,ll z) { ++cnt,p[cnt].to=y,p[cnt].val=z,p[cnt].nxt=head[x],head[x]=cnt; } void Dijkstra() { memset(dis,INF,sizeof(dis)); dis[s]=0; q.push(make_pair(0,s)); while(q.size()) { int u=q.top().second;q.pop(); if(vis[u]) continue; vis[u]=1; for(int i=head[u];i;i=p[i].nxt) { int v=p[i].to; if(dis[v]>dis[u]+p[i].val) { dis[v]=dis[u]+p[i].val; q.push(make_pair(dis[v],v)); } } } } int main() { // freopen(".in","r",stdin); // freopen(".out","w",stdout); n=read(),m=read(),k=read(); s=read(),t=read(); for(int i=1;i<=m;i++) { int x=read(),y=read(); ll z=read(); add(x,y,z),add(y,x,z); for(int j=1;j<=k;j++)//虚拟节点和边 { add((j-1)*n+x,y+j*n,0);//免费的边 add((j-1)*n+y,x+j*n,0); add(j*n+x,j*n+y,z),//不免费的边 add(j*n+y,j*n+x,z); } } Dijkstra(); printf("%lld ",dis[t+k*n]); fclose(stdin); fclose(stdout); return 0; }
习题报告：
改造路：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2939
解题思路：和飞行路线一样的，只需要改一下数组大小以及起点和终点就行了。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define re register int #define ll long long #define INF 0x3f3f3f3f #define maxn 10009 #define maxm 50009 inline ll read() { ll x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ll)(ch-'0');ch=getchar();} return x*f; } bool vis[maxn][29]; int head[maxn]; struct edge { int to,nxt; ll val; }p[maxm<<1]; struct node { int id,cnt; ll dist; bool operator < (const node& temp) const { return dist>temp.dist; } }dis[maxn][29]; int n,m,k,tot,s,t,cnt; ll ans; priority_queue<node>q; void add(int x,int y,ll z) { ++cnt,p[cnt].to=y,p[cnt].val=z,p[cnt].nxt=head[x],head[x]=cnt; } void Dijkstra() { for(int i=0;i<=n;i++) for(int j=0;j<=k;j++) dis[i][j].dist=INF; dis[s][0]={s,0,0}; q.push(dis[s][0]); while(q.size()) { node now=q.top();q.pop(); int u=now.id,x=now.cnt; if(vis[u][x]) continue; vis[u][x]=1; for(int i=head[u];i;i=p[i].nxt) { int v=p[i].to; if(dis[v][x].dist>dis[u][x].dist+p[i].val) { dis[v][x].dist=dis[u][x].dist+p[i].val; dis[v][x]={v,x,dis[v][x].dist}; q.push(dis[v][x]); } if(x+1<=k&&dis[v][x+1].dist>dis[u][x].dist) { dis[v][x+1].dist=dis[u][x].dist; dis[v][x+1]={v,x+1,dis[v][x+1].dist}; q.push(dis[v][x+1]); } } } } int main() { // freopen(".in","r",stdin); // freopen(".out","w",stdout); n=read(),m=read(),k=read(); s=1,t=n; for(int i=1;i<=m;i++) { int x=read(),y=read(); ll z=read(); add(x,y,z),add(y,x,z); } Dijkstra(); ans=INF; for(int i=0;i<=k;i++) ans=min(ans,dis[t][i].dist); printf("%lld ",ans); fclose(stdin); fclose(stdout); return 0; }