hdoj 1286 找新朋友 (欧拉函数)

找新朋友

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链接： http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1286

Problem Description

 

　　新年快到了，“猪头帮协会”准备搞一个聚会，已经知道现有会员N人，把会员从1到N编号，其中会长的号码是N号，凡是和会长是老朋友的，那么该会员的号码肯定和N有大于1的公约数，否则都是新朋友，现在会长想知道究竟有几个新朋友？请你编程序帮会长计算出来。

 

Input

　　第一行是测试数据的组数CN（Case number，1<CN<10000），接着有CN行正整数N（1<n<32768），表示会员人数。

 

Output

　　对于每一个N，输出一行新朋友的人数，这样共有CN行输出。

 

Sample Input

2

25608

24027

 

Sample Output

7680

16016

 

解题思路：

　　此题是关于欧拉函数的简单数论题，首先我们先来看看欧拉函数（也称 φ函数）：

　　

          欧拉函数： 对于给定正整数 n ，少于或等于n的数中与n互质的数的数目。

　　　　　　　　　　　　若n是质数p的i次幂，φ(n)=p^i - p^(i-1)=(p-1)*p^(i-1) (解题关键)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

　　　　　　　　　　　　设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数

　　　　　　　　　　　　　　φ：N→N，n→φ(n) 称为欧拉函数。

　　　　　　　　　　　欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n) [积性函数的形式]。

　　　　　　　　　　　特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似

    

　　根据欧拉函数，对于给定的 n ，我们总能找到小于 n 的（当 n 为素数时， 等于 n ）素数 p1, p2, ··· , pN, 使得

　　　　　　　　n = (p1 ^ a1) * (p2 ^ a2) * ···· * (pN ^ aN);

　　　　　　所以，

　　　　　　　　φ(n)=φ(p1 ^ a1) * φ(p2 ^ a2) * ··· * φ(pN ^ aN)

 　　　　　 所以，

　　　　　　　　φ(n) = ((p1 - 1)* p1^(a1 - 1)) * ((p2 - 1)* p2^(a2 - 1)) * ··· * ((pN - 1)* pN^(aN - 1))

 　　　　

　　

　　首先，我们假设与 n 互质的数(小于 n ) 有 n 个， 事实上它有 φ(n) 个， 我们可以寻找 n 与 φ(n) 的关系来求解：

　　　　　　   n / φ(n) = (p1 * p2 * ··· * pN) / ((p1-1) * (p2-1) * ··· *(pN-1))

 　　　　所以，

　　　　　　　 φ(n) = (n * (p1-1) * (p2-1) * ··· *(pN-1)) / (p1 * p2 * ··· * pN);

　　　　　　即：

　　　　　　　 φ(n) = n * ((p1-1) / p1) * ((p2-1) / p2) * ··· * ((pN-1) / pN);

 

AC代码：

#include<iostream>
#include<cmath>

using namespace std;

int Euler(int n);

int main()
{
    int cn, n, num;
    cin >> cn;
    while(cn--)
    {
        cin >> n;
        num = Euler(n);
        cout << num << endl;
    }
    return 0;
}

int Euler(int n)
{
    int num, i;
    num = n;
    for(i = 2; i < (int)sqrt(n*1.0)+1; ++i)
    {
        if(!(n % i )) {
            num = num/i *(i-1);
            while(!(n % i))
                n /= i;
        }
    }
    if(n > 1)
        num = num/n * (n-1);
    return num;
}