• Task04

    条件随机场

     

    马尔可夫过程

     

    定义

     

    假设一个随机过程中，$t_n$ 时刻的状态$x_n$的条件发布，只与其前一状态$x_{n-1}$ 相关，即：

    $$ P(x_n|x_1,x_2,...,x_{n-1}) = P(x_n|x_{n-1}) $$

    则将其称为 马尔可夫过程。

     

    隐马尔科夫算法

     

    定义

     

    隐马尔科夫算法是对含有未知参数（隐状态）的马尔可夫链进行建模的生成模型，如下图所示：

    在隐马尔科夫模型中，包含隐状态 和 观察状态，隐状态 $x_i$ 对于观察者而言是不可见的，而观察状态 $y_i$ 对于观察者而言是可见的。隐状态间存在转移概率，隐状态 $x_i$到对应的观察状态 $y_i$ 间存在输出概率。

     

    假设

     
    1. 假设隐状态$x_i$ 的状态满足马尔可夫过程，i时刻的状态$x_i$ 的条件分布，仅与其前一个状态$x_{i-1}$相关，即：
    $$ P(x_i|x_1,x_2,...,x_{i-1}) = P(x_i|x_{i-1}) $$
    1. 假设观测序列中各个状态仅取决于它所对应的隐状态，即：
    $$ P(y_i|x_1,x_2,...,x_{i-1},y_1,y_2,...,y_{i-1},y_{i+1},...) = P(y_i|x_{i}) $$
     

    存在问题

     

    在序列标注问题中，隐状态（标注）不仅和单个观测状态相关，还和观察序列的长度、上下文等信息相关。例如词性标注问题中，一个词被标注为动词还是名词，不仅与它本身以及它前一个词的标注有关，还依赖于上下文中的其他词。

     

    条件随机场 （以线性链条件随机场为例）

     

    定义

     

    给定 $X=(x_1,x_2,...,x_n)$ ，$Y=(y_1,y_2,...,y_n)$ 均为线性链表示的随机变量序列，若在给随机变量序列 X 的条件下，随机变量序列 Y 的条件概率分布 $P(Y|X)$ 构成条件随机场，即满足马尔可夫性：

    $$ P(y_i|x_1,x_2,...,x_{i-1},y_1,y_2,...,y_{i-1},y_{i+1}) = P(y_i|x,y_{i-1},y_{i+1}) $$

    则称为 P(Y|X) 为线性链条件随机场。

    通过去除了隐马尔科夫算法中的观测状态相互独立假设，使算法在计算当前隐状态$x_i$时，会考虑整个观测序列，从而获得更高的表达能力，并进行全局归一化解决标注偏置问题。

    条件随机场图片

     

    参数化形式

     
    $$ pleft(y | x ight)=frac{1}{Zleft(x ight)} prod_{i=1}^{n} exp left(sum_{i, k} lambda_{k} t_{k}left(y_{i-1}, y_{i}, x, i ight)+sum_{i, l} mu_{l} s_{l}left(y_{i}, x, i ight) ight) $$

    其中：

    $Z(x)$ 为归一化因子，是在全局范围进行归一化，枚举了整个隐状态序列$x_{1…n}$的全部可能，从而解决了局部归一化带来的标注偏置问题。

    $$ Z(x)=sum_{y} exp left(sum_{i, k} lambda_{x} t_{k}left(y_{i-1}, y_{i}, x, i ight)+sum_{i, l} mu_{l} s_{l}left(y_{i}, x, i ight) ight) $$

    $t_k$ 为定义在边上的特征函数，转移特征，依赖于前一个和当前位置

    $s_1$ 为定义在节点上的特征函数，状态特征，依赖于当前位置。

     

    简化形式

     

    因为条件随机场中同一特征在各个位置都有定义，所以可以对同一个特征在各个位置求和，将局部特征函数转化为一个全局特征函数，这样就可以将条件随机场写成权值向量和特征向量的内积形式，即条件随机场的简化形式。

     
    step 1

    将转移特征和状态特征及其权值用统一的符号表示，设有k1个转移特征，$k_2$个状态特征，$K=k_1+k_2$,记

    <img src="img/简化形式1.png" width = "500" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    step 2

    对转移与状态特征在各个位置i求和，记作

    <img src="img/简化形式2.png" width = "400" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    step 3

    将 $lambda_{x}$ 和 $mu_{l}$ 用统一的权重表示，记作

    <img src="img/简化形式3.png" width = "300" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    step 4

    转化后的条件随机场可表示为：

    <img src="img/简化形式4.png" width = "250" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    step 5

    若 $w$ 表示权重向量：

    $$ w = (w_1,w_2,...,w_K)^T $$

    以 $F(y,x)$ 表示特征向量，即

    <img src="img/简化形式5.png" width = "350" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    则，条件随机场写成内积形式为：

    <img src="img/简化形式6.png" width = "200" height = "200" alt="图片名称" align=center />

     

    矩阵形式

     

    推导 begin

    推导 end

     

    基本问题

     

    条件随机场包含概率计算问题、学习问题和预测问题三个问题。

    1. 概率计算问题：已知模型的所有参数，计算观测序列 $Y$ 出现的概率，常用方法：前向和后向算法；

    2. 学习问题：已知观测序列 $Y$，求解使得该观测序列概率最大的模型参数，包括隐状态序列、隐状态间的转移概率分布和从隐状态到观测状态的概率分布，常用方法：Baum-Wehch 算法；

    3. 预测问题：一直模型所有参数和观测序列 $Y$ ，计算最可能的隐状态序列 $X$,常用算法：维特比算法。

     

    概率计算问题

     

    给定条件随机场$P(Y|X)$，输入序列 $x$ 和 输出序列 $y$;

    计算条件概率

    $$ P(Y_i=y_i|x), P(Y_{i-1} = y_{i-1},Y_i = y_i|x) $$

    计算相应的数学期望问题；

     
    前向-后向算法
     
    step 1 前向计算

    对观测序列 $x$ 的每个位置 $i=1,2,...,n+1$ ，定义一个 $m$ 阶矩阵（$m$ 为标记$Y_i$取值的个数）

    <img src="img/前向后向10.png" width = "350" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    对每个指标 $i=0,1,...,n+1$，定义前向向量 $alpha_{i}(x)$，则递推公式:

    <img src="img/前向后向1.png" width = "450" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    其中，

    <img src="img/前向后向2.png" width = "250" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    step 2 后向计算

    对每个指标 $i=0,1,...,n+1$，定义前向向量 $eta_{i}(x)$，则递推公式:

    <img src="img/前向后向3.png" width = "350" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    <img src="img/前向后向4.png" width = "350" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    step 3

    <img src="img/前向后向5.png" width = "250" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    step 4 概率计算

    所以，标注序列在位置 $i$ 是标注 $y_i$ 的条件概率为：

    <img src="img/前向后向6.png" width = "350" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    <img src="img/前向后向7.png" width = "500" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    其中，

    <img src="img/前向后向8.png" width = "150" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    step 5 期望值计算

    通过利用前向-后向向量，计算特征函数关于联合概率分布 $P(X,Y)$ 和 条件概率分布 $P(Y|X)$ 的数学期望，即特征函数 $f_k$ 关于条件概率分布 $P(Y|X)$ 的数学期望：

    <img src="img/前向后向9.png" width = "500" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    其中：

    <img src="img/前向后向8.png" width = "150" height = "200" alt="图片名称" align=center />

     

    学习问题

     

    这里主要介绍一下 BFGS 算法的思路。

    输入：特征函数 $f_1,f_2,...,f_n$：经验分布 $widetilde{P}(X,Y)$；

    输出：最优参数值 $widehat{w}$，最优模型$P_{widehat{w}}(y|x)$。

    1. 选定初始点 w^{(0)}， 取 $B_0$ 为正定对称矩阵，k = 0;
    2. 计算 $g_k = g(w^(k))$，若 $g_k = 0$ ，则停止计算，否则转 (3) ；
    3. 利用 $B_k p_k = -g_k$ 计算 $p_k$；

    4. 一维搜索：求 $lambda_k$使得

      <img src="img/学习问题1.png" width = "300" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    5. 设 $w^{(k+1)} = w^{(k)} + lambda_k * p_k$

    6. 计算 $g_{k+1}$ = g(w^{(k+1)}),

      若 $g_k = 0$， 则停止计算；否则，利用下面公式计算 $B_{k+1}$:

      <img src="img/学习问题2.png" width = "300" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    7. 令 $k=k+1$，转步骤（3）；

     

    预测问题

     

    对于预测问题，常用的方法是维特比算法，其思路如下：

    输入：模型特征向量 $F(y,x)$ 和权重向量 $w$，输入序列（观测序列） $x={x_1,x_2,...,x_n}$；

    输出：条件概率最大的输出序列（标记序列）$y^{*}= (y_1^*,y_2^*,...,y_n^*)$，也就是最优路径；

    1. 初始化

    <img src="img/预测1.png" width = "350" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    1. 递推，对$i=2,3,...,n$

    <img src="img/预测2.png" width = "450" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    1. 终止

    <img src="img/预测3.png" width = "200" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    1. 返回路径

    <img src="img/预测4.png" width = "350" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    求得最优路径 $y^{*}= (y_1^*,y_2^*,...,y_n^*)$

     
    例子说明
     

    利用维特比算法计算给定输入序列$x$ 对应的最优输出序列$y^*$：

    <img src="img/预测5.png" width = "200" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    1. 初始化

    <img src="img/预测6.png" width = "350" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    1. 递推，对$i=2,3,...,n$

    <img src="img/预测11.png" width = "450" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    <img src="img/预测8.png" width = "500" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    1. 终止

    <img src="img/预测9.png" width = "350" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    1. 返回路径

    <img src="img/预测10.png" width = "200" height = "200" alt="图片名称" align=center />

    求得最优路径 $y^{*}= (y_1^*,y_2^*,...,y_n^*) = (1,2,1)$

     
    import numpy as np
 
class CRF(object):
    '''实现条件随机场预测问题的维特比算法
    '''
    def __init__(self, V, VW, E, EW):
        '''
        :param V:是定义在节点上的特征函数，称为状态特征
        :param VW:是V对应的权值
        :param E:是定义在边上的特征函数，称为转移特征
        :param EW:是E对应的权值
        '''
        self.V  = V  #点分布表
        self.VW = VW #点权值表
        self.E  = E  #边分布表
        self.EW = EW #边权值表
        self.D  = [] #Delta表，最大非规范化概率的局部状态路径概率
        self.P  = [] #Psi表，当前状态和最优前导状态的索引表s
        self.BP = [] #BestPath，最优路径
        return 
        
    def Viterbi(self):
        '''
        条件随机场预测问题的维特比算法，此算法一定要结合CRF参数化形式对应的状态路径图来理解，更容易理解.
        '''
        self.D = np.full(shape=(np.shape(self.V)), fill_value=.0)
        self.P = np.full(shape=(np.shape(self.V)), fill_value=.0)
        for i in range(np.shape(self.V)[0]):
            #初始化
            if 0 == i:
                self.D[i] = np.multiply(self.V[i], self.VW[i])
                self.P[i] = np.array([0, 0])
                print('self.V[%d]='%i, self.V[i], 'self.VW[%d]='%i, self.VW[i], 'self.D[%d]='%i, self.D[i])
                print('self.P:', self.P)
                pass
            #递推求解布局最优状态路径
            else:
                for y in range(np.shape(self.V)[1]): #delta[i][y=1,2...]
                    for l in range(np.shape(self.V)[1]): #V[i-1][l=1,2...]
                        delta = 0.0
                        delta += self.D[i-1, l]                      #前导状态的最优状态路径的概率
                        delta += self.E[i-1][l,y]*self.EW[i-1][l,y]  #前导状态到当前状体的转移概率
                        delta += self.V[i,y]*self.VW[i,y]            #当前状态的概率
                        print('(x%d,y=%d)-->(x%d,y=%d):%.2f + %.2f + %.2f='%(i-1, l, i, y, 
                              self.D[i-1, l], 
                              self.E[i-1][l,y]*self.EW[i-1][l,y], 
                              self.V[i,y]*self.VW[i,y]), delta)
                        if 0 == l or delta > self.D[i, y]:
                            self.D[i, y] = delta
                            self.P[i, y] = l
                    print('self.D[x%d,y=%d]=%.2f
'%(i, y, self.D[i,y]))
        print('self.Delta:
', self.D)
        print('self.Psi:
', self.P)
        
        #返回，得到所有的最优前导状态
        N = np.shape(self.V)[0]
        self.BP = np.full(shape=(N,), fill_value=0.0)
        t_range = -1 * np.array(sorted(-1*np.arange(N)))
        for t in t_range:
            if N-1 == t:#得到最优状态
                self.BP[t] = np.argmax(self.D[-1])
            else: #得到最优前导状态
                self.BP[t] = self.P[t+1, int(self.BP[t+1])]
        
        #最优状态路径表现在存储的是状态的下标，我们执行存储值+1转换成示例中的状态值
        #也可以不用转换，只要你能理解，self.BP中存储的0是状态1就可以~~~~
        self.BP += 1
        
        print('最优状态路径为：', self.BP)
        return self.BP
        
def CRF_manual():   
    S = np.array([[1,1],   #X1:S(Y1=1), S(Y1=2)
                  [1,1],   #X2:S(Y2=1), S(Y2=2)
                  [1,1]])  #X3:S(Y3=1), S(Y3=1)
    SW = np.array([[1.0, 0.5], #X1:SW(Y1=1), SW(Y1=2)
                   [0.8, 0.5], #X2:SW(Y2=1), SW(Y2=2)
                   [0.8, 0.5]])#X3:SW(Y3=1), SW(Y3=1)
    E = np.array([[[1, 1],  #Edge:Y1=1--->(Y2=1, Y2=2)
                   [1, 0]], #Edge:Y1=2--->(Y2=1, Y2=2)
                  [[0, 1],  #Edge:Y2=1--->(Y3=1, Y3=2) 
                   [1, 1]]])#Edge:Y2=2--->(Y3=1, Y3=2)
    EW= np.array([[[0.6, 1],  #EdgeW:Y1=1--->(Y2=1, Y2=2)
                   [1, 0.0]], #EdgeW:Y1=2--->(Y2=1, Y2=2)
                  [[0.0, 1],  #EdgeW:Y2=1--->(Y3=1, Y3=2)
                   [1, 0.2]]])#EdgeW:Y2=2--->(Y3=1, Y3=2)
    
    crf = CRF(S, SW, E, EW)
    ret = crf.Viterbi()
    print('最优状态路径为:', ret)
    return
    
if __name__=='__main__':
    CRF_manual()

    　　
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