动态规划求解0/1背包问题

什么是动态规划？

动态规划是一种在数学和计算机科学中使用的，用于求解包含重叠子问题的最优化问题的方法。其基本思想是，将原问题分解为相似的子问题，在求解的过程中通过子问题的解求出原问题的解。动态规划的思想是多种算法的基础，被广泛应用于计算机科学和工程领域。比较著名的应用实例有：求解最短路径问题，背包问题，项目管理，网络流优化等。

动态规划在查找有很多重叠子问题的情况的最优解时有效。它将问题重新组合成子问题。为了避免多次解决这些子问题，它们的结果都逐渐被计算并被保存，从简单的问题直到整个问题都被解决。因此，动态规划保存递归时的结果，因而不会在解决同样的问题时花费时间。

动态规划只能应用于有最优子结构的问题。最优子结构的意思是局部最优解能决定全局最优解(对有些问题这个要求并不能完全满足，故有时需要引入一定的近似)。简单地说，问题能够分解成子问题来解决。

实施动态规划的步骤：

1. 最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质（即满足最优化原理）。最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。
2. 子问题重叠性质。子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的效率。

什么是0/1背包问题？

我们有n种物品，物品j的重量为w_j，价格为p_j。我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。背包所能承受的最大重量为W。

如果限定每种物品只能选择0个或1个，则问题称为0-1背包问题。可以用公式表示为：

　　maximize 

　　subject to  

问题求解：

我们将在总重量不超过Y的前提下，前j种物品的总价格所能达到的最高值定义为A(j, Y)。

A(j, Y)的递推关系为：

• A(0, Y) = 0
• A(j, 0) = 0
• 如果w_j > Y, A(j, Y) = A(j - 1, Y)
• 如果w_j ≤ Y, A(j, Y) = max { A(j - 1, Y), p_j + A(j - 1, Y - w_j) }

通过计算A(n, W)即得到最终结果。为提高算法性能，我们把先前计算的结果存入表中。

　　下面给出代码：

#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;

struct Item
{
    void SetItem(int w, int v, bool s)
    {
        weight = w;
        value = v;
        selected = s;
    }
    int weight;
    int value;
    bool selected;
};


int Pick(Item goods[],int totalWeight,int amount)
{
    int c[amount + 1][totalWeight + 1];

    for(int i = 0; i < amount + 1; ++i)
        c[i][0] = 0;
    for(int j = 0; j < totalWeight + 1; ++j)
        c[0][j] = 0;

    for(int i = 1; i < amount + 1; ++i)
        for(int j = 1; j < totalWeight + 1; ++j)
        {
            if(goods[i].weight < j + 1)
                c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i - 1][j - goods[i].weight] + goods[i].value);
            else
                c[i][j] = c[i - 1][j];
        }

    for(int i = 0; i < amount + 1; ++i)
    {
        for(int j = 0; j < totalWeight + 1; ++j)
        {
            cout<<"\t"<<c[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }

    for(int i = amount, j = totalWeight; i > 0; --i)
    {
        if(c[i][j] > c[i - 1][j])
        {
            goods[i].selected = true;
            j = j - goods[i].weight;
        }
    }

    return c[amount][totalWeight];

}

int main()
{
    int amount = 5;
    int totalWeight = 10;
    Item * goods = new Item[amount + 1];
    goods[0].SetItem(0, 0, false);
    goods[1].SetItem(2, 6, false);
    goods[2].SetItem(2, 3, false);
    goods[3].SetItem(6, 5, false);
    goods[4].SetItem(5, 4, false);
    goods[5].SetItem(4, 6, false);

    int value = Pick(goods, totalWeight, amount);

    cout<<"Max value is "<<value<<endl;
    cout<<"Good picked are :"<<endl;;
    for(int i = 0; i < amount + 1; ++i)
    {
        if(goods[i].selected)
            cout<<"index = "<<i<<" -> "<<"weight = "<<goods[i].weight<<" "<<"value = "<<goods[i].value<<endl;;
    }

    delete [] goods;
    return 0;
}