HDU4565 So Easy! —— 共轭构造、二阶递推数列、矩阵快速幂

题目链接：https://vjudge.net/problem/HDU-4565

So Easy!

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Total Submission(s): 5525    Accepted Submission(s): 1841

Problem Description

　　A sequence S_n is defined as:

Where a, b, n, m are positive integers.┌x┐is the ceil of x. For example, ┌3.14┐=4. You are to calculate S_n.
　　You, a top coder, say: So easy! 

Input

　　There are several test cases, each test case in one line contains four positive integers: a, b, n, m. Where 0< a, m < 2¹⁵, (a-1)²< b < a², 0 < b, n < 2³¹.The input will finish with the end of file.

 

Output

　　For each the case, output an integer S_n.

 

Sample Input

2 3 1 2013 2 3 2 2013 2 2 1 2013

 

Sample Output

4 14 4

 

Source

2013 ACM-ICPC长沙赛区全国邀请赛——题目重现

 

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题解：

1.因为：0< a，(a-1)²< b < a²,。当a>=1时， a-1<根号b<a，那么 0<(a-根号b)<1；当0<a<1时， 1-a<根号b<a，那么 那么 0<(a-根号b)<2*a-1<1。综上：0<(a-根号b)<1。所以0<(a-根号b)^n<1

2.这里假设b = 根号b，以方便描述。根据上述结论，那么可得：[(a+b)^n] = [(a+b)^n + (a-b)^n] = (a+b)^n + (a-b)^n 。

解释：

2.1 因为a-1<b<1，所以b必定是浮点数，那么(a+b)^n 也必定是浮点数，此时，再加上个大于0小于1的浮点数(a-b)^n，那么 [(a+b)^n + (a-b)^n] 有可能等于[(a+b)^n] ，也有可能等于[(a+b)^n] +1，这就要取决(a+b)^n的小数部分与(a-b)^n的小数部分之和是否大于1。

2.2 此时，就要将(a+b)^n+(a-b)^n展开进行分析。展开后可知，当b的指数为奇数时，正负抵消；当b的指数为偶数时，b^2k 为一个整数。综上：(a+b)^n+(a-b)^n为一个整数，即表明(a+b)^n的小数部分与(a-b)^n的小数部分之和刚好等于1，所以[(a+b)^n] = [(a+b)^n + (a-b)^n] = (a+b)^n + (a-b)^n 。

3.根据上述分析，问题转化为求：S[n] = (a+b)^n + (a-b)^n 。而这个式子可以看成是二阶齐次递推式的通项公式，可以根据通项公式反推回递推式，然后构造矩阵进行求解。具体如下：

以上来自：http://blog.csdn.net/ljd4305/article/details/8987823

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <string>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 2e9;
const LL LNF = 9e18;
//const int MOD = 1e9+7;
const int MAXN = 1e6+100;

int MOD;
const int Size = 2;
struct MA
{
    LL mat[Size][Size];
    void init()
    {
        for(int i = 0; i<Size; i++)
        for(int j = 0; j<Size; j++)
            mat[i][j] = (i==j);
    }
};

MA mul(MA x, MA y)
{
    MA ret;
    memset(ret.mat, 0, sizeof(ret.mat));
    for(int i = 0; i<Size; i++)
    for(int j = 0; j<Size; j++)
    for(int k = 0; k<Size; k++)
        ret.mat[i][j] += 1LL*x.mat[i][k]*y.mat[k][j]%MOD, ret.mat[i][j] = (ret.mat[i][j]%MOD+MOD)%MOD;
    return ret;
}

MA qpow(MA x, LL y)
{
    MA s;
    s.init();
    while(y)
    {
        if(y&1) s = mul(s, x);
        x = mul(x, x);
        y >>= 1;
    }
    return s;
}


int main()
{
    LL a, b, n, m, f[2];
    while(scanf("%lld%lld%lld%lld", &a,&b,&n,&m)!=EOF)
    {
        MOD = (int)m;
        f[0] = 2; f[1] = 2*a;
        if(n<=1)
        {
            printf("%lld
", f[n]%MOD);
            continue;
        }

        MA s;
        memset(s.mat, 0, sizeof(s.mat));
        s.mat[0][0] = 2*a; s.mat[0][1] = b-a*a;
        s.mat[1][0] = 1; s.mat[1][1] = 0;

        s = qpow(s, n-1);
        LL ans = (1LL*s.mat[0][0]*f[1]%MOD+1LL*s.mat[0][1]*f[0]%MOD+2*MOD)%MOD;
        printf("%lld
", ans);
    }
}