多项式全家桶
#include<bits/stdc++.h>
#define N 440000
#define db double
#define ll long long
#define ldb long double
#define ull unsigned long long
using namespace std;
const int h=3,ki=149,mo=998244353;
int mod(int x){return (x%mo+mo)%mo;}
int inc(int x,int k){x+=k;return x<mo?x:x-mo;}
int dec(int x,int k){x-=k;return x>=0?x:x+mo;}
int ksm(int x,int k)
{
int ans=1;
while(k){if(k&1)ans=1ll*ans*x%mo;k>>=1;x=1ll*x*x%mo;}
return ans;
}
int inv(int x){return ksm(mod(x),mo-2);}
int read()
{
char ch=0;int x=0,flag=1;
while(!isdigit(ch)){ch=getchar();if(ch=='-')flag=-1;}
while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();}
return x*flag;
}
void write(int x)
{
if(!x)return (void)putchar(48);
if(x<0)putchar(45),x=-x;
int len=0,p[20];
while(x)p[++len]=x%10,x/=10;
for(int i=len;i>=1;i--)putchar(p[i]+48);
}
const db eps=1e-7,inf=1e9+7,pi=acos(-1);
db Read(){db x;scanf("%lf",&x);return x;}
void Write(db x){printf("%lf",x);}
int rev[N];
void ntt(int *f,int n,int flag)
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)+(i&1)*(n>>1);
if(i<rev[i])swap(f[i],f[rev[i]]);
}
for(int k=2,kk=1;k<=n;k<<=1,kk<<=1)
{
int wn=ksm(h,(mo-1)/k);
if(flag==-1)wn=inv(wn);
for(int i=0;i<n;i+=k)
for(int j=0,w=1;j<kk;j++,w=1ll*w*wn%mo)
{
int t=1ll*w*f[i+j+kk]%mo;
f[i+j+kk]=dec(f[i+j],t);f[i+j]=inc(f[i+j],t);
}
}
if(flag==-1)
{
int k=inv(n);
for(int i=0;i<n;i++)f[i]=(1ll*f[i]*k%mo+mo)%mo;
}
}
int a[N],b[N];
void poly_ml(int n)
{
int len=1;while(len<2*n)len<<=1;
for(int i=n;i<len;i++)a[i]=0;
ntt(a,len,+1);
for(int i=0;i<len;i++)a[i]=1ll*a[i]*a[i]%mo;
ntt(a,len,-1);
}
void poly_mul(int n,int m)
{
int len=1;while(len<n+m)len<<=1;
for(int i=n;i<len;i++)a[i]=0;
for(int i=m;i<len;i++)b[i]=0;
ntt(a,len,+1);ntt(b,len,+1);
for(int i=0;i<len;i++)a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mo;
ntt(a,len,-1);
}
int v[N],fv[N];
void poly_inv(int n)
{
for(int i=0;i<n;i++)v[i]=v[i+n]=fv[i+n]=0;
for(int len=1;len<2*n;len<<=1)
{
if(len==1){v[0]=inv(fv[0]);continue;}
for(int i=0;i<len;i++)a[i]=v[i];poly_ml(len);
for(int i=0;i<len;i++)b[i]=fv[i];poly_mul(len,len);
for(int i=0;i<len;i++)v[i]=dec(2ll*v[i]%mo,a[i]);
}
for(int i=0;i<n;i++)v[i+n]=fv[i]=fv[i+n]=0;
}
int d[N],fd[N];
void poly_der(int n,int flag)
{
for(int i=0;i<n;i++)d[i]=d[i+n]=0;
if(flag==+1)for(int i=0;i<n-1;i++)d[i]=1ll*(i+1)*fd[i+1]%mo;
if(flag==-1)for(int i=1;i<n+1;i++)d[i]=1ll*fd[i-1]*inv(i)%mo;
for(int i=0;i<n;i++)fd[i]=0;
}
int l[N],fl[N];
void poly_ln(int n)
{
for(int i=0;i<n;i++)l[i]=l[i+n]=fl[i+n]=0;
int len=1;while(len<n)len<<=1;
for(int i=0;i<len;i++)fv[i]=fl[i];poly_inv(len);
for(int i=0;i<len;i++)fd[i]=fl[i];poly_der(len,+1);
for(int i=0;i<len;i++)a[i]=v[i],b[i]=d[i];poly_mul(len,len);
for(int i=0;i<len;i++)fd[i]=a[i];poly_der(len,-1);
for(int i=0;i<n;i++)l[i]=d[i],l[i+n]=fl[i]=fl[i+n]=0;
}
int e[N],fe[N];
void solve(int l,int r)
{
if(l==r)return (void)(e[l]=l?1ll*e[l]*inv(l)%mo:1);
int n=0,m=0,mid=(l+r)>>1;
solve(l,mid);
for(int i=l;i<=mid;i++)a[n++]=e[i];
for(int i=0;i<=r-l+1;i++)b[m++]=fe[i];
poly_mul(n,m);
for(int i=mid+1;i<=r;i++)e[i]=inc(e[i],a[i-l-1]);
solve(mid+1,r);
}
void poly_exp(int n)
{
for(int i=0;i<n;i++)e[i]=e[i+n]=fe[i+n]=0;
for(int i=0;i<n;i++)fe[i]=1ll*(i+1)*fe[i+1]%mo;
solve(0,n-1);
for(int i=0;i<n;i++)e[i+n]=fe[i]=fe[i+n]=0;
}
int p[N],fp[N];
void poly_pow(int n,int k)
{
for(int i=0;i<n;i++)p[i]=p[i+n]=fp[i+n]=0;
for(int i=0;i<n;i++)fl[i]=fp[i];poly_ln(n);
for(int i=0;i<n;i++)fe[i]=1ll*k*l[i]%mo;poly_exp(n);
for(int i=0;i<n;i++)p[i]=e[i],p[i+n]=fp[i]=fp[i+n]=0;
}
多项式求逆
要保证(a_0)可逆
多项式牛顿迭代
多项式ln
[egin{align*}
g(x)=ln(f(x))
\
g'(x)=frac{f'(x)}{f(x)}
\
g(x)=intfrac{f'(x)}{f(x)}
end{align*}
]
要保证(a_0=1)
多项式exp
多项式(k)次幂
P6667 [清华集训2016] 如何优雅地求和
https://www.cnblogs.com/Creed-qwq/p/13775270.html
[\
]
ZR251 导数卷积
https://www.cnblogs.com/Creed-qwq/p/13722223.html
[\
]
CF438E The Child and Binary Tree
https://www.luogu.com.cn/problem/CF438E
列一下生成函数
得到(F(x)=F(x)*F(x)*G(x)+1)
解二次方程即可
[\
]
P5748 集合划分计数
https://www.luogu.com.cn/problem/solution/P5748
求贝尔数。。。。
生成函数搞一搞
[\
]
P3723 [AH2017/HNOI2017]礼物
Pro：
https://www.luogu.com.cn/problem/P3723
Sol：
推一下式子
发现加权值和循环移位的影响是独立的
加权值的直接暴力(这个有可能可以三分？
循环移位的写一下式子发现是一个减法卷积的形式，直接FFT即可
P5488 差分与前缀和
https://www.luogu.com.cn/problem/P5488
手玩一下系数
发现原数列的每一项对答案序列的贡献系数是一个组合数
然后写完式子发现是个卷积
然后发现k很大
仔细思考后发现k可以直接取模就做完了
还有一种想法就是考虑生成函数
求前缀和的的话就等价于(*(1+x+x^2+x^3....)=*(frac{1}{1-x}))
求查分的的话就等价于(*(1-x))
然后k次变换就等价于k次方
显然按照多项式幂函数的套路，(ln)+(exp)即可