[环上dp] JZOJ P1793 教主泡嫦娥

Description

【问题背景】
　　2012年12月21日下午3点14分35秒，全世界各国的总统以及领导人都已经汇聚在中国的方舟上。
　　但也有很多百姓平民想搭乘方舟，毕竟他们不想就这么离开世界，所以他们决定要么登上方舟，要么毁掉方舟。

　　LHX教主听说了这件事之后，果断扔掉了手中的船票。在地球即将毁灭的那一霎那，教主自制了一个小型火箭，奔向了月球……

　　教主登上月球之后才发现，他的女朋友忘记带到月球了，为此他哭了一个月。
　　但细心的教主立马想起了小学学过的一篇课文，叫做《嫦娥奔月》，于是教主决定，让嫦娥做自己的新任女友。

【题目描述】
　　教主拿出他最新研制的LHX(Let's be Happy Xixi*^__^*)卫星定位系统，轻松地定位到了广寒宫的位置。
　　见到嫦娥之后，教主用温柔而犀利的目光瞬间迷倒了嫦娥，但嫦娥也想考验一下教主。
　　嫦娥对教主说：“看到那边的环形山了么？你从上面那个环走一圈我就答应你～”

　　教主用LHX卫星定位系统查看了环形山的地形，环形山上一共有N个可以识别的落脚点，以顺时针1~N编号。每个落脚点都有一个海拔，相邻的落脚点海拔不同（第1个和第N个相邻）。
　　教主可以选择从任意一个落脚点开始，顺时针或者逆时针走，每次走到一个相邻的落脚点，并且最后回到这个落脚点。
　　教主在任意时刻，都会有“上升”、“下降”两种状态的其中一种。

　　当教主从第i个落脚点，走到第j个落脚点的时候（i和j相邻）
　　j的海拔高于i的海拔：如果教主处于上升状态，教主需要耗费两段高度差的绝对值的体力；否则耗费高度差平方的体力。
　　j的海拔低于i的海拔：如果教主处于下降状态，教主需要耗费两段高度差的绝对值的体力；否则耗费高度差平方的体力。
　　
　　当然，教主可以在到达一个落脚点的时候，选择切换自己的状态（上升→下降，下降→上升），每次切换需要耗费M点的体力。在起点的时候，教主可以自行选择状态并且不算切换状态，也就是说刚开始教主可以选择任意状态并且不耗费体力。

　　教主希望花费最少的体力，让嫦娥成为自己的女朋友。

 

Input

　　输入的第一行为两个正整数N与M，即落脚点的个数与切换状态所消耗的体力。
　　接下来一行包含空格隔开的N个正整数，表示了每个落脚点的高度，题目保证了相邻落脚点高度不相同。

Output

　　输出仅包含一个正整数，即教主走一圈所需消耗的最小体力值。
　　注意：C++选手建议使用cout输出long long类型整数。

 

Sample Input

6 7
4 2 6 2 5 6

Sample Output

27

Hint

【样例说明】
　　从第3个落脚点开始以下降状态向前走，并在第4个落脚点时切换为上升状态。
　　这样共耗费4 +(7)+3+1+2^2+2^2+4=27点体力。

【数据规模】
　　对于10%的数据，N ≤ 10；
　　对于30%的数据，N ≤ 100，a[i] ≤ 1000；
　　对于50%的数据，N ≤ 1000，a[i] ≤ 100000；
　　对于100%的数据，N ≤ 10000，a[i] ≤ 1000000，M ≤ 1000000000；

题解

• 50%的做法其实很简单，
• 设f[i][0/1]现在在枚举到i，状态为0或1（上升或下降），枚举一个起始点，O(N)跑一次
• 最后的时间复杂度就是O(N(N2))
• 100%做法：
• 设f[i][0..1][0..1]表示在第i个点，状态为0或1（上升或下降），是否改变过状态（0或1）。
• 状态转移方程就是

• //不用改变状态：
  f[i][j][0]=f[i-1][j][0]+abs(a[i]-a[i-1]);
  f[i][j][1]=min(f[i-1][j][1],min(f[i-1][j^1][0],f[i-1][j^1][1])+m)+abs(a[i]-a[i-1]);
  //要改变状态：
  f[i][j][0]=f[i-1][j][0]+sqr(a[i]-a[i-1]);
  f[i][j][1]=min(f[i-1][j][1],min(f[i-1][j^1][0],f[i-1][j^1][1])+m)+sqr(a[i]-a[i-1]);

• 那么我们考虑一下对于改变状态的奇偶性（下面的图都是将环拆成一条链）
• ①如果没有改变过状态，很容易统计答案 ans=min(f[n][0][0],f[n][1][0])
• ②如果改变过奇数次状态（上图！！）
• 
• 显然，顺时针和逆时针改变的次数都一样，所以ans=min(f[n][0][1],f[n][1][1])
• ③如果改变过偶数次状态
• 
• 显然这样的话，顺时针和逆时针的改变的状态的次数是不一样的
• 所以要减去一个m
• ans=min(f[n][0][0]-m,f[n][1][0]-m)

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<memory.h>
using namespace std;
int a[10010],n,m;
long long f[10010][2][2];
long long sqr(long long x){return x*x;}
void dp()
{
    f[0][0][1]=f[0][1][1]=0x7fffffff;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<2;j++)
            if ((a[i]<a[i-1])^j)
            {
                f[i][j][0]=f[i-1][j][0]+abs(a[i]-a[i-1]);
                f[i][j][1]=min(f[i-1][j][1],min(f[i-1][j^1][0],f[i-1][j^1][1])+m)+abs(a[i]-a[i-1]);
            }
            else 
            {
                f[i][j][0]=f[i-1][j][0]+sqr(a[i]-a[i-1]);
                f[i][j][1]=min(f[i-1][j][1],min(f[i-1][j^1][0],f[i-1][j^1][1])+m)+sqr(a[i]-a[i-1]);
            }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    a[n]=a[0];
    memset(f,0,sizeof(f));
    dp();
    long long ans=min(min(f[n][0][0],f[n][0][1]),min(f[n][1][0],f[n][1][1]));
    memset(f,0,sizeof(f)); f[0][0][0]=0x7fffffff;
    dp();
    ans=min(ans,f[n][1][1]-m);
    memset(f,0,sizeof(f)); f[0][1][0]=0x7fffffff;
    dp();
    ans=min(ans,f[n][0][1]-m);   
    cout<<ans;
    return 0;
}