[Lucas定理][隔板法][容斥原理] Codeforces 451E Devu and Flowers

 题解

• 我们先考虑没有限制的情况怎么求，也就是在n个盒子里取出s个球的方案数，每个盒子可以不取就是隔板法C(n+s-1,n-1)
• 然后考虑减去每不合法的方案，也就是i个盒子取超的方案数
• 考虑容斥原理，容易想到容斥系数就是(-1)^i，那么就拿总方案数-1个盒子超+2个盒子超...
• 然后还是要用Lucas定理来求，因为n和m太大

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mo=1e9+7,N=30;
int n;
ll s,r,f[N];
ll ksm(ll a,ll b) { for (r=1;b;b>>=1,a=a*a%mo) if (b&1) r=r*a%mo; return r; }
ll C(ll n,ll m) 
{ 
    if (m>n) return 0;
    if (m>n-m) m=n-m;
    ll ans=1ll,fac=1ll;
    for (int i=1;i<=m;i++) ans=(ans*(n-i+1))%mo,fac=fac*i%mo;
    fac=ksm(fac,mo-2),ans=ans*fac%mo;
    return ans;
}
ll lucas(ll n,ll m) { return !m?1:C(n%mo,m%mo)*lucas(n/mo,m/mo)%mo; }
int main()
{
    while (scanf("%d%lld",&n,&s)!=EOF)
    {
        ll ans=0;
        for (int i=0;i<n;i++) scanf("%lld",&f[i]);
        for (int i=0;i<(1<<n);i++)
        {
            int k=1; ll p=s;
            for (int j=0;j<n;j++) if ((1<<j)&i) k*=-1,p-=f[j]+1;
            if (p<0) continue;
            (ans+=k*lucas(p+n-1,n-1)%mo)%=mo;
        }
        ans=(ans+mo)%mo,printf("%lld
",ans);
    }
}