[树形dp] Luogu P2230 Tinux系统

题目描述

在dos系统诞生以前，美国曾研究出一种类似的操作系统，名为Tinux系统。但由于硬件设施的制约，Tinux系统有许多的缺点。下面就对Tinux系统作一个简单的介绍：

Tinux系统是Tiger博士为美国军方研制开发的一种操作系统，该系统对文件的存储方式类似于dos系统，像一棵树一样，每一个叶子节点表示一个文件，每一个非叶子节点表示一个目录。其中定义i级子目录表示从根目录开始访问，一直访问到该子目录（不包括该子目录）需要访问的目录的个数为i的目录，所以根目录下的目录为一级子目录，其他的目录以此类推。但是在同一子目录下，受到硬件的制约Tinux系统最多只能够存储k个文件或子目录，也就是说这棵树里面的每一个非叶子节点最多只有k个子节点。这样就导致在文件数量较多的情况下，访问存储在该系统当中的文件A，往往要先访问一系列的子目录，我们称这些子目录为文件A的上级目录。例如下面这一个例子：

Root  A1

 A2

 A3

 A4

 A4A1

 A4A2

 A4A2A1

 A4A2A2

 A4A3

当我们要访问文件A4A2A1时就必须先访问它的上级目录：一级子目录A4和二级子目录A4A2。

Tinux系统在存储文件时，给每一个子目录都分配了k个指针，分别指向存放在该目录下的每一个文件和每一个目录，因此对文件的访问实质上就是对指针的访问。但是由于硬件原因，这k个指针不尽相同，因此访问它们的时间也不同，访问第i个指针所耗费的时间为 。但是对于两个不同的子目录（不管它们各自属于哪一级目录）而言它们各自所拥有的k个指针是相同的。

Tinux系统最大的缺点是访问一个目录时，必须把该目录下所有的文件读入到内存当中来，这些文件包括在其各级子目录当中的文件，例如上面那一个例子，访问A4那一个目录，就必须把A4A1，A4A2A1，A4A2A2，A4A3这四个文件都读入到内存当中来，访问一个目录所需要的时间为 （x表示该目录及其各级子目录下文件的个数， 表示指向该目录的指针的访问时间）。因此根据上面介绍的访问方法，单独访问一个文件所需要的总时间为访问其所有上级目录（不包括根目录）所需要的时间与访问指向该文件的指针所需要的时间的和，例如上面那一个例子，访问文件A4A2A1需要的时间=访问目录A4的时间+访问目录A4A2的时间+访问指向文件A4A2A1的指针需要的时间。

现在，tiger博士准备将n个文件存储到一个空的Tinux系统当中，希望你帮助他设计一个程序找到一种最优的存储方法，使得单独访问这n个文件所需要的时间总和最小。

题解

• f[i][j]表示i个物品，使用j个指针的最小费用，f[i][j]=min{f[j-1]+g[t][j]}

• g[i][j]表示当前指针为j，使用了i个物品，g[i][j]=min{f[i][l]+p[j]*i*i)

• 初值f[1][1],g[1][x]，做到i时给f[1]赋值

• 于是复杂度就是O(n^2*k)

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=1010,inf=2147483647;
int n,k,p[153],f[N][N];
int MIN(int x,int y) { return !x?y:min(x,y); }
int dp(int x,int y,int l) 
{
    if (x==1) { f[x][y]=p[y]; return f[x][y]; }
    if (y==k) { f[x][y]=p[y]*x*x+dp(x,1,x-1); return f[x][y]; }
    int r=k-y+1;
    if (r*l<x) return inf;
    if (f[x][y]) return f[x][y];
    r=(x-1)/r+1;
    for (int i=r;i<=l;i++) 
        if (i==1) f[x][y]=p[y]+dp(x-1,y+1,x-2);
        else f[x][y]=MIN(f[x][y],dp(x-i,y+1,x-i-1)+dp(i,1,i-1)+p[y]*i*i);
    return f[x][y];
}
int main() 
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for (int i=1;i<=k;i++) scanf("%d",&p[i]);
    sort(p+1,p+1+k),printf("%d",dp(n,1,n-1));
}