邻项交换排序

邻项交换排序

通过找到 决定 相邻两个单位位置 的策略 以推广到整个队伍，是一种通过贪心解决问题的方法。

Luogu P2123 皇后游戏

题目大意

有n个大臣，第i位大臣左手的数为a_i​，右手的数为b_i​，且a_i​和b_i​均为正整数。他能获得的数c_i​由以下关系给出： 

求c_i​最大的大臣的c_i​最小为多少。

分析

Part 1

我们要找大臣的顺序，且排列顺序没有后效性，我们不妨拎出相邻的大臣i与大臣j。

设这两位大臣之前的大臣获得的奖金为y，之前的所有大臣左手上的数之和为x。

①当大臣1排在大臣2之前时：

大臣i的奖金：max( y,x+a_i )+b_i

大臣j的奖金：max( c_i,x+a_i+a_j )+b_j

②当大臣1排在大臣2之前时：

大臣j的奖金：max( y,x+a_j )+b_j

大臣i的奖金：max( c_j,x+a_i+a_j )+b_i

我们比较两种情况，分析满足何种条件时我们才能把大臣i放在前面。

显然，当一个大臣被放在后面时，一定比他放在前面时得到的奖金多（证明略）

为了比较奖金最多大臣的奖金多少，我们进而比较被放在后面时两个大臣的奖金数。

为使情况最优，max( c_i,x+a_i+a_j )+b_j < max( c_j,x+a_i+a_j )+b_i

=> max( max( y,x+a_i )+b_i,x+a_i+a_j )+b_j < max( max( y,x+a_j )+b_j,x+a_i+a_j )+b_i

=> max( y+b_i,x+a_i+b_i,x+a_i+a_j )+b_j < max( y+b_j,x+a_j+b_j,x+a_i+a_j )+b_i

=> max( y+b_i+b_j,x+a_i+b_i+b_j,x+a_i+a_j +b_j) < max( y+bj+bi,x+aj+bj+bi,x+ai+aj+b_i )

 由于两式中都有 y+b_i+b_j，我们忽略不计算。

=>  max( x+a_i+b_i+b_j,x+a_i+a_j +b_j) < max( x+aj+bj+bi,x+ai+aj+b_i )

为化简式子，我们同时减去 x+a_i+a_j+b_i+b_j

=> max( -a_j,-b_i) < max( -a_i,-b_j )

=> min( a_j,b_i ) < min( a_i,b_j )

Part 2

于是如果您的sort的cmp函数写成：

bool operator <(node a) const
{
     return min(x,a.y)<min(y,a.x);
}

或许能水过洛谷的数据，但是是错解。

这里从Luogu题解中找到了一组hack数据：

2

7

6 3

1 1

7 3

1 1

1 6

1 1

6 10

7

6 10

1 1

6 3

1 1

7 3

1 1

1 6

上面两组数据只是顺序不一样，结果应该是一样的，但用上面的程序跑出来的结果却是不一样的。

再具体地分析一下。假设有三位大臣，他们的a[i]和b[i]分别是：

7 3

1 1

1 6

显然，这样可以是排完序后的结果，因为两两之间用条件判断都是等于。这样算出来答案是17。而如果这样排：

1 1

1 6

7 3

答案是12，显然这样更优，但程序却有可能排成17的那种情况。

为什么错了呢？简单来说，就是此时的判断条件不满足传递性。引用一个名词——严格弱序。sort的判断函数必须满足严格弱序。

严格弱序是什么？

拿内置类型来说，C++都定义了 “<”操作符，这就是一个严格弱序，而“<=”就不是一个严格弱序

对于内置类型我们自然可以有<、>、=来判断两个值的大小关系，而对于自定义的类型，只用一个严格弱序（这里就用<为例）就可以表示两个元素三种大小关系

a小于b

a < b

b小于a

b < a

a等于b

!(a < b) && !( b < a )

严格弱序的三点要求：

1.两个关键字不能同时“严格弱序”于对方

2.如果a“严格弱序”于b，且b“严格弱序”于c，则a必须“严格弱序”于c（传递性）

3.如果存在两个关键字，任何一个都不“严格弱序”于另一个，则这两个关键字是相等的。

摘自WikiPedia的定义：

A strict weak ordering is a binary relation < on a set S that is a strict partial order (a transitive relation that is irreflexive, or equivalently,^[5] that is asymmetric) in which the relation "neither a < b nor b < a" is transitive.^[1] Therefore, a strict weak ordering has the following properties:

• For all x in S, it is not the case that x < x (irreflexivity).
• For all x, y in S, if x < y then it is not the case that y < x (asymmetry).
• For all x, y, z in S, if x < y and y < z then x < z (transitivity).
• For all x, y, z in S, if x is incomparable with y (neither x < y nor y < x hold), and y is incomparable with z, then x is incomparable with z (transitivity of incomparability).

This list of properties is somewhat redundant, as asymmetry follows readily from irreflexivity and transitivity.

非严格弱序带来的问题：

有序关联容器不允许存在相同的关键字，在判断时，会认为相同的关键字是不相等的，因此会将两个相同的关键字插入容器中，这个行为是未定义的。

注：以上部分严格弱序的叙述摘自 C++ 严格弱序  River_Lethe

Part 3

那么，如果必须使用严格弱序，应该如何判断 min( a_j,b_i ) < min( a_i,b_j ) 呢？

我们分情况讨论：

1.当a_i < b_i，a_j​ < b_j​时，a_i​ ≤ a_j​，应该按a升序排序（ai​和aj​相等时无所谓）。

2.当a_i​ = b_i​，a_j​ = b_j​时，爱怎么排怎么排。

3.当a_i​ > b_i​，a_j​ > b_j​时，b_i​ ≥ b_j​，应该按b降序排序。

//判断a[i].x 与 b[i].x 的大小关系
if (a[i].x>a[i].y) a[i].d=1;
else if (a[i].x<a[i].y) a[i].d=-1;
else a[i].d=0;

于是cmp将是这样的：

bool operator <(node a) const
{
    if (d!=a.d) return d<a.d;
    if (d<=0) return x<a.x;
    return y>a.y;
}