【CF886E】Maximum Element DP

【CF886E】Maximum Element

题意：小P有一个1-n的序列，他想找到整个序列中最大值的出现位置，但是他觉得O(n)扫一遍太慢了，所以它采用了如下方法：

1.逐个遍历每个元素，如果这个元素比当前记录的最大值大，则令最大值等于当前元素，并令cnt=0
2.如果这个元素没有当前元素大，则cnt++。
3.如果cnt=k，则返回当前最大值

现在小P想知道有多少种序列在使用他的方法时会得到错误的答案。为了简化问题，我们假定原序列是一个1-n的排列。即我们要求的是：给定n和k，有多少个1-n的排列，在使用上述算法时，会得到错误的答案。

n,k<=10^6

题解：好难的DP题。

令f[n]表示1-n的排列中，$a_n=n$且能得到错误答案的方案数。显然当n<=K时f[n]都是0。

考虑枚举n-1的出现位置，如果n-1的出现位置在[1,n-k-1]中，那么这样的排列一定是错误的。这样的方案数是(n-2)!*(n-k-1)。

如果n-1在[n-k,n-1]中，那么如果答案是错误的，最大值只能是前n-2个数中的一个。设n-1的位置是j，那么我们将n-1和它前面的数看成一个新的序列，那么这个序列错误的方案数就是f[j]。又由于前面的j个数其实可以在n-2里随便取，所以方案数其实是$f[j]frac {(n-2)!} {(j-1)!}$。

所以DP方程：$​f[n]=(n-2)!(n-k-1)+sumlimits_{j=n-k}^{n-1}f[j]frac{(n-2)!}{(j-1)!}$

用前缀和维护$frac{f[j]}{(j-1)!}$即可。

答案是什么呢？仿照上面的推导过程可以知道$ans=sumlimits_{i=k+1}^nf[i]frac{(n-1)!}{(i-1)!}$。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1000010;
const ll P=1000000007;
int n,m;
ll jc[maxn],ine[maxn],jcc[maxn],f[maxn],s[maxn];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int i;
	ine[0]=ine[1]=jc[0]=jc[1]=jcc[0]=jcc[1]=1;
	for(i=2;i<=n;i++)	jc[i]=jc[i-1]*i%P,ine[i]=P-(P/i)*ine[P%i]%P,jcc[i]=jcc[i-1]*ine[i]%P;
	for(i=m+2;i<=n;i++)	f[i]=(i-m-1+s[i-1]-s[i-m-1]+P)*jc[i-2]%P,s[i]=(s[i-1]+f[i]*jcc[i-1])%P;
	printf("%I64d",s[n]*jc[n-1]%P);
	return 0;
}