关于一些背包。。。。

P06: 分组的背包问题

问题

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c，价值是w。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

算法

这个问题变成了每组物品有若干种策略：是选择本组的某一件，还是一件都不选。也就是说设f[k][v]表示前k组物品花费费用v能取得的最大权值，则有：

f[k][v]=max{f[k-1][v],f[k-1][v-c]+w|物品i属于组k}

使用一维数组的伪代码如下：

for 所有的组k for v=V..0 for 所有的i属于组k f[v]=max{f[v],f[v-c]+w}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

#define T 2

#define N 3

#define V 11

int main(){

    //初始化物品的价值和占用容积

    int value[T][N] = {{10, 20, 15}, {18, 11, 13}};

    int volume[T][N] = {{4, 7, 6}, {5, 5, 6}};

    //初始化dp用的数组

    int dp[V+1] = {0};

    //dp每步都需要最优化

    for (int i = 0; i < T; i++)

        for (int j = V; j >= 0; j--)

            for (int k =0; k < N; k++)

                if (j - volume[k] >= 0)

                    dp[j] = max(dp[j], dp[j-volume[k]]+value[k]);

    cout<<dp[V]<<endl;

    system("pause");

}

P05: 二维费用的背包问题

问题

二维费用的背包问题是指：对于每件物品，具有两种不同的费用；选择这件物品必须同时付出这两种代价；对于每种代价都有一个可付出的最大值（背包容量）。问怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代价分别为代价1和代价2，第i件物品所需的两种代价分别为a和b。两种代价可付出的最大值（两种背包容量）分别为V和U。物品的价值为w。

算法

费用加了一维，只需状态也加一维即可。设f[v]表示前i件物品付出两种代价分别为v和u时可获得的最大价值。状态转移方程就是：

f[v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-a][u-b]+w}

如前述方法，可以只使用二维的数组：当每件物品只可以取一次时变量v和u采用逆序的循环，当物品有如完全背包问题时采用顺序的循环。当物品有如多重背包问题时拆分物品。这里就不再给出伪代码了，相信有了前面的基础，你能够自己实现出这个问题的程序。

物品总个数的限制

有时，“二维费用”的条件是以这样一种隐含的方式给出的：最多只能取M件物品。这事实上相当于每件物品多了一种“件数”的费用，每个物品的件数费用均为1，可以付出的最大件数费用为M。换句话说，设f[v]

表示付出费用v、最多选m件时可得到的最大价值，则根据物品的类型（01、完全、多重）用不同的方法循环更新，最后在f[0..V][0..M]范围内寻找答案。

复数域上的背包问题

另一种看待二维背包问题的思路是：将它看待成复数域上的背包问题。也就是说，背包的容量以及每件物品的费用都是一个复数。而常见的一维背包问题则是实数域上的背包问题。（注意：上面的话其实不严谨，因为事实上我们处理的都只是整数而已。）所以说，一维背包的种种思想方法，往往可以应用于二位背包问题的求解中，因为只是数域扩大了而已。

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

 

#define K 5

#define V 18

#define C 15

 

int main(){

    //初始化物品的价值,占用容积,花销

    int value[K] = {10, 20, 15, 18, 11};

    int volume[K] = {4, 7, 6, 5, 5};

    int cost[K] = {5, 6, 5, 5, 4};

 

    //初始化dp用的数组

    int dp[V+1][C+1] = {0};

 

    //dp每步都需要最优化

    for (int i = 0; i < K; i++)

        for (int j = V; j >= volume; j--)

            for (int k = C; k >= cost; k--)

                dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j-volume][k-cost]+value);

 

    cout<<dp[V][C]<<endl;

    system("pause");

}


  第K大背包

 for(i=1;i<=n;i++)

    {

        for(j=V;j>=cost;j--)

        {

            for(tt=1;tt<=K;tt++)

            {

                d[tt]=f[j][tt];

                p[tt]=f[j-cost][tt]+weight;

            }

            d[tt]=-1;

            p[tt]=-1;

            int x,y,z;

            x=y=z=1;

            while(z<=K&&(x<=K||y<=K))

            {

                if(d[x]>p[y])

                    f[j][z]=d[x++];

                else

                    f[j][z]=p[y++];

                if(f[j][z]!=f[j][z-1])

                    z++;

            }

        }

    }