[题解] Luogu2487 [SDOI2011]拦截导弹

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题目大意

有 \(n\) 颗导弹按顺序拦截，每个导弹有高度 \(h\) 与速度 \(v\) ，要求下一颗拦截的导弹比当前速度慢且高度低，问最多可以拦截多少导弹、在所有拦截最多方案中每颗导弹被拦截的概率。

思路

首先对于 \(h\) 和 \(v\) 进行离散化，方便后面操作。

这是一个带两个参数的 LIS 问题，可以想到用 DP 的思路，但是暴力 DP 的时间复杂度为 \(O(n^2)\)。

可以将问题转化为三维偏序，然后经典套路 CDQ 分治来优化解决。

但是由于 DP 的特殊顺序，必须处理完左区间之后及时地与右区间合并，最后处理右区间。然后第一问就可以解决了。

将第二问可以拆分成两个子问题：以当前导弹结尾的方案数、以当前导弹开始的方案数。就可以将两个方案数相乘，算出包含该颗导弹的方案数。

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define int __int128
//计算过程中会爆long long，用int128或者double存 
void Read(int &n) {
	n = 0; int op = 1; char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') {
		if (c == '-') op = -1;
		c = getchar();
	}
	while (c >= '0' && c <= '9') {
		n = (n << 1) + (n << 3) + (c ^ 48);
		c = getchar();
	}
	n *= op;
}
void Write(int n) {
	if(n < 0) putchar('-'), n = -n;
	if(n >= 10) Write(n / 10);
	putchar(n % 10 + 48);
}
const int MAXN = 2e5 + 5;
struct Seg {//线段树维护区间最大值 
	int l, r, maxn, cnt;//cnt为该区间的最大值有多少个，便于统计方案数 
	#define ls (pos << 1)
	#define rs (pos << 1 | 1)
} t[MAXN << 2];
void Push_Up(int pos) {
	t[pos].maxn = max(t[ls].maxn, t[rs].maxn);
	t[pos].cnt = 0;
	if (t[ls].maxn == t[pos].maxn) t[pos].cnt += t[ls].cnt;
	if (t[rs].maxn == t[pos].maxn) t[pos].cnt += t[rs].cnt;
}
void Clear(int pos) {
	if (!t[pos].maxn) return;
	t[pos].maxn = 0;
	if (t[pos].l == t[pos].r) return;
	Clear(ls), Clear(rs);
}
void Build(int pos, int l, int r) {
	t[pos].l = l, t[pos].r = r;
	if (l == r) return;
	int mid = (l + r) >> 1;
	Build(ls, l, mid);
	Build(rs, mid + 1, r);
}
void Update(int pos, int x, int y, int d) {
	if (t[pos].l == t[pos].r) {
		if (t[pos].maxn < y) t[pos].maxn = y, t[pos].cnt = d;
		else if (t[pos].maxn == y) t[pos].cnt += d;
		return;
	}
	if (x <= t[ls].r) Update(ls, x, y, d);
	else Update(rs, x, y, d);
	Push_Up(pos);
}
void Query(int pos, int l, int r, int &res1, int &res2) {
	if (l <= t[pos].l && t[pos].r <= r) {
		res1 = t[pos].maxn, res2 = t[pos].cnt;
		return;
	}
	int maxn1 = 0, maxn2 = 0, cnt1 = 0, cnt2 = 0;
	if (l <= t[ls].r) Query(ls, l, r, maxn1, cnt1);
	if (r >= t[rs].l) Query(rs, l, r, maxn2, cnt2);
	res1 = max(maxn1, maxn2), res2 = 0;
	if (res1 == maxn1) res2 += cnt1;
	if (res1 == maxn2) res2 += cnt2;
}
struct Node { int h, v, t; } a[MAXN];
bool cmpt(Node x, Node y) {
	return x.t < y.t;
}
bool cmph(Node x, Node y) {
	return x.h != y.h ? x.h > y.h : x.t < y.t;
}
int lsh[2][MAXN], tt[2];
int f1[MAXN], g1[MAXN], f2[MAXN], g2[MAXN], ans1, ans2, sum, n;
//f1为以i开头的最长不上升子序列，g1为方案数
//f2为以i结尾的最长不上升子序列，g2为方案数 
void Solve1(int l, int r) {
	if (l == r) return;
	int mid = (l + r) >> 1;
	sort(a + l, a + 1 + r, cmpt);
	Solve1(l, mid);//先解决左区间 
	sort(a + l, a + 1 + mid, cmph);
	sort(a + mid + 1, a + 1 + r, cmph);
	Clear(1);
	int i = l, j = mid + 1;
	while (i <= mid && j <= r) {//合并左右区间 
		if (a[i].h >= a[j].h) {//第二维归并处理 
			Update(1, a[i].v, f1[a[i].t], g1[a[i].t]);//修改区间最大值便于DP 
			//第三维线段树处理 
			i++;
		}
		else {
			int maxn = 0, cnt = 0;
			Query(1, a[j].v, n, maxn, cnt);
			if (maxn) {
				if (f1[a[j].t] < maxn + 1) f1[a[j].t] = maxn + 1, g1[a[j].t] = cnt;//状态转移+统计方案数 
				else if (f1[a[j].t] == maxn + 1) g1[a[j].t] += cnt;
			}
			j++;
		}
	}
	while (j <= r) {
		int maxn = 0, cnt = 0;
		Query(1, a[j].v, n, maxn, cnt);
		if (maxn) {
			if (f1[a[j].t] < maxn + 1) f1[a[j].t] = maxn + 1, g1[a[j].t] = cnt;
			else if (f1[a[j].t] == maxn + 1) g1[a[j].t] += cnt;
		}
		j++;
	}
	Solve1(mid + 1, r);//最后解决右区间 
}
void Solve2(int l, int r) {
	if (l == r) return;
	int mid = (l + r) >> 1;
	sort(a + l, a + 1 + r, cmpt);
	Solve2(l, mid);
	sort(a + l, a + 1 + mid, cmph);
	sort(a + mid + 1, a + 1 + r, cmph);
	Clear(1);
	int i = l, j = mid + 1;
	while (i <= mid && j <= r) {
		if (a[i].h >= a[j].h) {
			Update(1, a[i].v, f2[a[i].t], g2[a[i].t]);
			i++;
		}
		else {
			int maxn = 0, cnt = 0;
			Query(1, a[j].v, n, maxn, cnt);
			if (maxn) {
				if (f2[a[j].t] < maxn + 1) f2[a[j].t] = maxn + 1, g2[a[j].t] = cnt;
				else if (f2[a[j].t] == maxn + 1) g2[a[j].t] += cnt;
			}
			j++;
		}
	}
	while (j <= r) {
		int maxn = 0, cnt = 0;
		Query(1, a[j].v, n, maxn, cnt);
		if (maxn) {
			if (f2[a[j].t] < maxn + 1) f2[a[j].t] = maxn + 1, g2[a[j].t] = cnt;
			else if (f2[a[j].t] == maxn + 1) g2[a[j].t] += cnt;
		}
		j++;
	}
	Solve2(mid + 1, r);
}
int Get(int x, int h) {
	return lower_bound(lsh[h] + 1, lsh[h] + 1 + tt[h], x) - lsh[h];
}
signed main() {
	Read(n); Build(1, 1, n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		Read(a[i].h); Read(a[i].v);
		a[i].t = i;
		lsh[0][++tt[0]] = a[i].h;
		lsh[1][++tt[1]] = a[i].v;
	}
	sort(lsh[0] + 1, lsh[0] + 1 + tt[0]);
	sort(lsh[1] + 1, lsh[1] + 1 + tt[1]);
	tt[0] = unique(lsh[0] + 1, lsh[0] + 1 + tt[0]) - lsh[0] - 1;
	tt[1] = unique(lsh[1] + 1, lsh[1] + 1 + tt[1]) - lsh[1] - 1;//离散化 
	for (int i = 1; i <= n; i++) a[i].h = Get(a[i].h, 0), a[i].v = Get(a[i].v, 1);
	for (int i = 1; i <= n; i++) f1[i] = f2[i] = g1[i] = g2[i] = 1;//只有自己长度为1 
	Solve1(1, n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) ans1 = max(ans1, f1[i]);
	for (int i = 1; i <= n; i++) if (f1[i] == ans1) sum += g1[i];
	Write(ans1);
	printf("\n");
	for (int i = 1; i <= n; i++) {//倒着跑回去，得到第二个此问题的答案 
		a[i].t = n - a[i].t + 1;
		a[i].h = n - a[i].h + 1;
		a[i].v = n - a[i].v + 1;
	}
	sort(a + 1, a + 1 + n, cmpt);
	Solve2(1, n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (f1[i] + f2[n - i + 1] - 1 != ans1) printf("0.00000 ");
		else printf("%.5lf ", (double) (1.0 * g1[i] * g2[n - i + 1] / sum));
	}
	return 0;
}
​```