线性筛

线性筛

闲话

之前写的总结不忍直视（总结了个寂寞），今天突然要用到约数和结果不会筛，于是爬来写博客。

性质

• 时间复杂度线性
• 理论上所有积性函数都可以筛（推式子）

用法

对于需要筛的积性函数，我们需要讨论三种数时它的取值或者转移。

1. 当 (i) 为素数时，此时函数的值一般可以快速得到；
2. 当 (imod p=0) 时；
3. 当 (imod p e 0) 时。

对于不同数论函数当然每处的转移都不同了。

下文所有标号位置对应以上三种情况，并设 (tmp=i*p)

例子

约数个数和

根据算术基本定理(?)，设数 (n) 的约数个数和为 (d_n)，有：

[n=prod_{p_imid n and p_imathrm{ is a prime}}p_i^{g_i}\ d_n=prod g_i+1 ]

要筛 (d) 我们还需要一个 (g) 来表示该数的最小素因子的数量，以便进行第二条转移。

1. (g_i=1,d_i=2)。
2. 此时枚举数 (i) 的最小约数已经之前被更新过了并且一定是当前正在枚举的 (p) ，则 (g_{tmp}=g_i+1)。对于 (d_{tmp})，根据上述公式，那我们就从 (d_i) 进行转移，更新最小约数的贡献，即除掉更改的贡献乘上正确的，即 (d_{tmp}=d_i*frac{g_{tmp}+1}{g_i+1})。
3. 此时枚举的 (p) 是最小的素因子，那么根据公式，(g_{tmp}=1,d_{tmp}=d_i*2)。

d[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!mark[i]) p[++tot]=i,d[i]=2,g[i]=1;
    for(int j=1,tmp;j<=tot and (tmp=i*p[j])<=n;j++){
        mark[tmp]=true;
        if(i%p[j]==0){
            g[tmp]=g[i]+1;
            d[tmp]=d[i]/(g[i]+1)*(g[tmp]+1);
            break;
		}
        g[tmp]=1;
        d[tmp]=d[i]*[g[tmp]+1];
	}
}

约数和

根据算术基本定理(?)，已知 (sigma) 为约数和，有：

[sigma_n=prod_{p_imid nand p_imathrm{ is a prime}}sum_{j=0}^{a_i}p_i^j ]

注意这里的 (a) 与上文的 (g) 表示意义相同，为每个素数的个数。我们定义 (g) 为最小的 (p) 的 (sum_{j=0}p^j)。

1. (g_i=sigma_i=i+1)
2. 根据 (g) 的定义，我们要更新 (g) 就相当于给原来的 (g) 乘上 (p) 并加 1。对于 (sigma)，和上面的转移类似，我们从 (i) 转移即可。(sigma_{tmp}=sigma_i*frac{g_{tmp}}{g_i})。
3. 此时我们计算上一个新的质数的贡献即可，和上面类似。

代码中 (sigma) 用 (f) 代替。

f[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!mark[i]) p[++tot]=i,g[i]=f[i]=i+1;
    for(int j=1,tmp;j<=tot and (tmp=i*p[j])<=n;j++){
        mark[tmp]=true;
        if(i%p[j]==0){
            g[tmp]=g[i]*p[j]+1;
            f[tmp]=f[i]/g[i]*g[tmp];
            break;
		}
        g[tmp]=p[j]+1;
        f[tmp]=f[i]*f[p[j]];
	}
}

总结

如果要使用线性筛来筛积性函数，大多要表示成枚举所有质因数来统计贡献的形式才可以推出式子。更多技巧待耕。