【算法】欧几里得——GCD引发的讨论

欧几里得算法

任务

求两个数a,b的最大公约数gcd(a,b)

说明

由贝祖定理[若设a,b是整数，则存在整数x,y，使得ax+by=gcd（a,b）]得，gcd(a,b)=(b,a-b),其中a≥b。通过这样不断的迭代，知道b=0，就是原来数对的最大公约数。考虑到只使用减法会超时，我们观察到如果a-b仍然大于b的话，要进行一次同样的操作，就把a减到不足b为止，所以有gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。由此可以在log的时间内求出两个数的gcd。

程序

int gcd(int a,int b);

复杂度

O(logN)，其中N和a，b同阶

输入

a，b两个整数

输出

a，b的最大公约数

代码

int gcd(int a,int b){
        return b  == 0? a : gcd(b, a % b);
}

扩展欧几里得

任务

求出A,B的最大公约数，且求出X,Y满足AX+BY=GCD(A,B)。

说明

要求X,Y，满足：AX+BY=GCD(A,B)。
当B=0时，有X=1，Y=0时等式成立。
当B>0时，在欧几里得算法的基础上，已知：
GCD(A,B)=GCD(B,A mod B)
先递归楸树X’,Y’满足：
BX’+(A mod B)Y’ = GCD(B,A mod B) = GCD(A,B)
然后可以回推，我们将上式化简得：
BX’+(A-A/B*B)Y’=GCD(A,B)
AY’+BX’-(A/B)*BY’=GCD(A,B)
这里除法指整除。把含B的因式提取一个B，可得：
AY’+B(X’-A/B*Y’)=GCD(A,B)
故X=Y’，Y=X’-A/B&Y’

程序

int extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y);

复杂度

O(logN)，其中N和a，b同阶

输入

a，b两个整数
&x,&y引用，ax+by=GCD(a,b)的一组解

输出

a，b的最大公约数
调用后x，y满足方程ax+by=GCD(a,b)。

代码

int extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y) {
    if(b==0) {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    } else {
        int r=extend_gcd(b,a%b,y,x);
        y-=x*(a/b);
        return r;
    }
}

参考文章:
ACM国际大学生程序设计竞赛：算法与实现
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