组合数学之盒子和球

一、6980: 盒子和球1

给定k个有标号的球，标号依次为1，2，…，k。
将这k个球放入m个不同的盒子里，允许有空盒，求放置方法的总数。
每个球放进盒子中均有m种方法，所以共 (m^k)种。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int k,m;
    while(cin>>k>>m)
    {
        long long ans=1;
        //每个球均有m种放法
        for(int i=0;i<k;i++)
        {
            ans=ans*m;
        }
        cout<<ans<<"
";
    }
}

二、6335: 盒子和球2

给定k个有标号的球，标号依次为1，2，…，k。
将这k个球放入m个不同的盒子里，不允许有空盒，求放置方法的总数。
问题变了麻烦起来，这直接秒杀不掉啊，需要我们考虑每一步的状态。
1.盒子不同，盒子的全排列为 (m!)
2.那我们尝试下k个球放进m个相同的盒子，不允许有空盒。这个问题我们需要考第i个球放进j个盒子的放法S(i,j)，若单独放一盒也就是S(i-1,j-1)，否则你可以选任何一个盒子放j*S(i-1,j)
递归写法，我们考虑下递归结束条件，只有1个盒子的话就1种方法
继续考虑初始值，球数 < 盒子数=0
记忆化一下，不然就超时了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL ans[16][16];
LL S(LL k, LL m)
{
    if(k<m)
        return 0;
    if(ans[k][m])return ans[k][m];
    //1个盒子，全放进去
    if(m==1)return 1;
    //单独一盒+放进r个盒子里
    return ans[k][m]=S(k-1, m-1)+m*S(k-1, m);
}

LL F(LL n)
{
    if(n==0)
        return 1;
    return n*F(n-1);
}

int main()
{
    LL k, m;
    while(cin>>k>>m)
    {
        cout<<F(m)*S(k, m)<<endl;
    }
    return 0;
}

动态规划写法
只需要考虑初始状态，1个盒子放1个有1种方法，其他都来源自他，其他都是0种

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL dp[16][16];

LL F(LL n)
{
    if(n==0)
        return 1;
    return n*F(n-1);
}
int main()
{
    dp[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=15;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j]*j;
    }
    int k, m;
    while(cin>>k>>m)
    {
        cout<<F(m)*dp[k][m]<<endl;
    }
    return 0;
}

三、6981: 盒子与球3

给定k个有标号的球，标号依次为1，2，…，k。
将这k个球放入m个相同的盒子里，可以有空盒，求放置方法的总数。
既然盒子数相同，那我们刚开考虑的顺序就不对了
我们可以考虑将其放进1，2，…，m个盒子
因为球不同，所以

四、