FBI WARNING
在阅读前，请先弄懂单点修改+区间查询和区间修改+单点查询。
近日，本萌新在学习了树状数组后，在某度上寻找了各大大佬的区间修改+区间查询的博客。
发现了高一年级无法理解的奇怪的操作...
于是乎，在我的不懈努力（手动模拟）之下，终于弄懂了这个树状数组区间求和修改的奥♂义。
那么首先我们假设一个数组a，里面是我们的所有数。
让我们回忆一下区间修改需要干什么，对了！维护差分数组！
所以我们再来一个数组d，是我们数组a的差分数组。
所以a[i] = d[1] + d[2] + .. + d[i]; (下标从一开始)
因此我们只需要维护一个差分数组就可以了。
让我们再回忆一下区间查询该怎么做，对了！前缀和！
那么肯定有人要问了，我堂堂正正一个差分数组，前缀和怎么搞？
现在我们来看一下：
-
a[1] = d[1];
-
a[2] = d[1] + d[2];
-
a[3] = d[1] + d[2] + d[3];
-
a[4] = d[1] + d[2] + d[3] + d[4];
停！打住！够了。
假设我们要求sum[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4]。
那么我们的式子就会变成;
sum[4] = d[1] + d[1] + d[2] + d[1] + d[2] + ........ + d[4];
超麻烦啊喂！
我们回去再看一看a[1] - a[4]那四行。这次我们竖着看。
有没有豁然开朗的赶脚！
sum[4] = d[1] ∗ 4 + d[2] ∗ 3 + d[3] ∗ 2 + d[4] ∗ 1;
接下来再看....
sum[4] = d[1] ∗ 4 + d[2] ∗ 3 + d[3] ∗ 2 + d[4] ∗ 1;
= (d[1] ∗ 5 + d[2] ∗ 5 + .. d[4] ∗ 5) - d[1] ∗ 1 + d[2] ∗ 2 + .. d[4] ∗ 4;
所以如果我们要求sum[i];
sum[i] = (i + 1)∗(d[1] + d[2] + .. d[i]) - (d[1]∗1 + d[2] ∗ 2 + .. d[i] ∗ i);
现在我们尝试将这个式子与前缀和联系起来:
看这个 (d[1] + d[2] + .. d[i])
这不是 d[i]的前缀和吗？！
再看这个 (d[1]∗1 + d[2] ∗ 2 + .. d[i] ∗ i)
如果我们考虑再弄一个数组d2。
d2[i] = d[i] * i;
带入一下 (d2[1] + d2[2] + .. d2[i])
就变成了d2的前缀和！
所以我们将a数组差分后放进d数组里，初始化d2[i] = d[i] * i
我们就可以弄两个树状数组，一个维护d，一个维护d2
接下来放 P3372的代码。大家也可以去做一下（用树状数组哦）
首先需要这俩
LL d_tr[100005],d2_tr[100005]; // 分别是维护d和d2的树状数组
这是更新操作
void add(int x,LL v) // 在x的位置加上v
{
for(int i = x;i <= n;i += lowbit(i)){
d_tr[i] += v;
d2_tr[i] += x * v;
}
// 因为 d2_tr[x] += d_tr[x] * x;
// d_tr[x] += v;所以我们要更新d2_tr[x] = (d_tr[x] + v) * x;
// 就相当于 d2_tr[x] += x * v;
// 然后向上更新
// 循环中的i是用来代替向上更新的x的,不懂得可以手动模拟一下~
}
这是查询
LL sum(int x) // 查询前缀和
{
long long ans = 0;
for(int i = x;i > 0;i -= lowbit(i)){
ans += (x+1) * d_tr[i] - d2_tr[i];
}
// 根据我们推出来的东西求前缀和
// 不懂的话，手动模拟依旧是个好办法
return ans;
}
输入时的初始化
for(int i = 1;i <= n;i++){
scanf("%lld",&a[i]);
add(i,a[i] - a[i-1]); // 将差分后的值放入树状数组
}
主函数中的更新记得写成这样
add(x,v); //区间更新操作，差分的知识
add(y+1,-v);
主函数中的查询记得写成这样
LL ans = sum(y) - sum(x-1); //前缀和之差算区间和
printf("%lld
",ans);
总代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
LL a[100005],n,m;
LL d_tr[100005],d2_tr[100005]; // 分别是维护d和d2的树状数组
int lowbit(int x){
return x & (-x);
}
void add(int x,LL v) // 在x的位置加上v
{
for(int i = x;i <= n;i += lowbit(i)){
d_tr[i] += v;
d2_tr[i] += x * v;
}
// 因为 d2_tr[x] += d_tr[x] * x;
// d_tr[x] += v;所以我们要更新d2_tr[x] = (d_tr[x] + v) * x;
// 就相当于 d2_tr[x] += x * v;
// 然后向上更新
// 循环中的i是用来代替向上更新的x的,不懂得可以手动模拟一下~
}
LL sum(int x) // 查询前缀和 主函数里要写成sum(y) - sum(x-1);
{
long long ans = 0;
for(int i = x;i > 0;i -= lowbit(i)){
ans += (x+1) * d_tr[i] - d2_tr[i];
}
// 根据我们推出来的东西求前缀和
// 不懂的话，手动模拟依旧是个好办法
return ans;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(int i = 1;i <= n;i++){
scanf("%lld",&a[i]);
add(i,a[i] - a[i-1]); // 将差分后的值放入树状数组
}
while(m--){
LL v;
int op,x,y;
scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
if(op == 1){
scanf("%lld",&v);
add(x,v); //区间更新操作，差分的知识
add(y+1,-v);
}
else {
LL ans = sum(y) - sum(x-1); //前缀和之差算区间和
printf("%lld
",ans);
}
}
return 0;
}