UVALive 3295

题目大意：见刘汝佳《算法竞赛入门经典——训练指南》P173

解题思路：

　　每一个合法的三角形的三个顶点都不在同一直线上，那么问题其实就是在求所有不全在同一直线上的三点的组合数。

　　我们可以利用容斥原理，先求出所有的三个顶点的组合数C[(n+1)*(m+1)][3]。全在同一直线上的三个网格顶点有三种：三点在同一水平线上的，三点在同一竖直线上的，三点在同一斜线上的。前两种不难求，因此不再赘述，这里重点讲解第三种。

　　设三点坐标为（x1,y1），（x2,y2），（x3,y3），且x1 < x2 < x3，y1 < y2 < y3，设 x2-x1 = i，x3-x2 = j，当且仅当 i*（y3-y2） = j*（y2-y1）时，三点在同一斜线上。那么我们可以枚举 i 和 j ，求出 g = gcd（i,j），对于每一个（i,j），再从 1 开始枚举 k ，则此时 y3-y2 = k*j/g，y2-y1 = k*i/g（当 y3 - y1 >= m+1时退出循环），这样就可以知道 x3-x1 和 y3-y1 的值了，接下来就只需要求出放得下多少条这样的斜线就可以。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1002001+3;
ll C[maxn][5];
void init(){
    C[0][0]=1;
    C[1][1]=C[1][0]=1;
    for(int n=2;n<maxn;n++){
        C[n][0]=1;
        if(n<=3)    C[n][n]=1;
        for(int m=1;m<min(4,n);m++){
            C[n][m]=C[n-1][m-1]+C[n-1][m];
        }
    }
}
int gcd(int a,int b){
    if(b==0)    return a;
    return gcd(b,a%b);
}
int main(){
    init();
    int n,m;
    int kase=1;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)==2&&n&&m){
        n++,m++;
        if(n>m) swap(n,m);
        ll ans=C[n*m][3];
        ans-=C[n][3]*m;
        ans-=C[m][3]*n;
        ll t=0;
        for(int i=1;i<n;i++){
            for(int j=1;i+j<n;j++){
                int gd=gcd(i,j);
                for(int k=1;;k++){
                    int id=k*j/gd,ij=k*i/gd;
                    if(id+ij>=m)  break;
                    t+=(n-(i+j))*(m-(k*(i+j)/gd));
                }
            }
        }
        ans-=t*2;
        printf("Case %d: %lld
",kase++,ans);
    }
    return 0;
}