机器学习——高等数学

1 导数定义

　　导数和微分的概念

　　　　$f'({x_0})=underset{igtriangleup x longrightarrow 0}{lim}      {large frac{f(x)-f(x_0)}{x-{{x_0}}}} $

　　或者：

　　　　$f'({x_0})=underset{ x longrightarrow x_0}{lim}   {large frac{f(x)-f(x_0)}{x-{{x_0}}}} $

2 左右导数导数的几何意义和物理意义

　　函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左、右导数分别定义为：

　　左导数：

　　　　${{f'_-}}({x_0})=underset{Delta x longrightarrow 0^{-}}{lim}   {large frac{f({x_0}+Delta x)-f({x_0})}{Delta x}}  =underset{ x longrightarrow x_0^{-}}{lim}  {large frac{f(x)-f({x_0})}{x-{x_0}}} ,quad(x={x_0}+Delta x)$

　　右导数：

　　　　${{f'_+}}({x_0})=underset{Delta x longrightarrow 0^{+}}{lim} {large frac{f({x_0}+Delta x)-f({x_0})}{Delta x}} =underset{ x longrightarrow x_0^{+}}{lim}  {large frac{f(x)-f({x_0})}{x-{x_0}}} $

3 函数的可导性与连续性之间的关系

　　Th1：函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微 $Leftrightarrow f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。

　　Th2：若函数在点 $x_0$ 处可导，则 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。

　　Th3：${f}'({x_0})$ 存在 $Leftrightarrow {{f'_-}}({x_0})={{f'_+}}({{x}_{0}})$

4 平面曲线的切线和法线

　　切线方程 : $y-{y_0}=f'({x_0})(x-{{x}_{0}})$

　　法线方程：$y-{y_0}=-frac{1}{{large f'({x_0})} }(x-{x_0}),quad f'({x_0}) e 0$

5 四则运算法则

　　设函数 $u=u(x)，v=v(x)$ 在点 $x$ 可导则

　　$(upm v{)}'={u}'pm {v}'$　　$d(upm v)=dupm dv$

　　$(uv{)}'=u{v}'+v{u}'$　　$d(uv)=udv+vdu$

　　$({large frac{u}{v})'} ={large frac{v{u}'-u{v}'}{{{v}^{2}}}} (v e 0)$　　${large d(frac{u}{v})} ={large frac{vdu-udv}{{{v}^{2}}}} $

6 基本导数与微分表

　　(1) $y=c$（常数）

　　　　 ${y}'=0$　　$dy=0$

　　(2) $y={{x}^{alpha }}$($alpha $为实数)

　　　　${y}'=alpha {{x}^{alpha -1}}$　　$dy=alpha {{x}^{alpha -1}}dx$

　　　　

　　(3) $y={{a}^{x}}$

　　　　${y}'={{a}^{x}}ln a$　　$dy={{a}^{x}}ln adx$

　　　　特例: $({{{e}}^{x}}{)}'={{{e}}^{x}}$ $d({{{e}}^{x}})={{{e}}^{x}}dx$

　　　　

　　(4) $y={{log }_{a}}x$　　${y}'=frac{1}{xln a}$

　　　　$dy=frac{1}{xln a}dx$

　　　　特例：$y=ln x$ $(ln x{)}'=frac{1}{x}$　　$d(ln x)=frac{1}{x}dx$

　　　　

　　(5) $y=sin x$

　　　　${y}'=cos x$　　$d(sin x)=cos xdx$

　　　　

　　(6) $y=cos x$

　　　　${y}'=-sin x$　　$d(cos x)=-sin xdx$

　　　　

　　(7) $y= an x$

　　　　${y}'={large frac{1}{{{cos }^{2}}x}} ={{sec }^{2}}x$　　$d( an x)={{sec }^{2}}xdx$

　　　　

　　(8) $y=cot x$　　

　　　　${y}'={large -frac{1}{{{sin }^{2}}x}} =-{{csc }^{2}}x$　　$d(cot x)=-{{csc }^{2}}xdx$

　　　　

　　(9) $y=sec x =sec x = {large frac{1}{cos x} } $　　

　　　　${y}'=sec x an x$　　$d(sec x)=sec x an xdx$

　　　　

　　(10) $y=csc x ={large  frac{1}{sin x}}  $

　　　　${y}'=-csc xcot x$　　$d(csc x)=-csc xcot xdx$

　　　　

　　(11) $y=arcsin x$

　　　　${y}'={large frac{1}{sqrt{1-{{x}^{2}}}}} $　　$d(arcsin x)=frac{1}{sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx$

　　　　

　　(12) $y=arccos x$

　　　　${y}'=-frac{1}{sqrt{1-{{x}^{2}}}}$　　$d(arccos x)={large -frac{1}{sqrt{1-{{x}^{2}}}}} dx$

　　　　

　　(13) $y=arctan x$

　　　　${y}'={large frac{1}{1+{{x}^{2}}}} $　　$d(arctan x)={large frac{1}{1+{{x}^{2}}}} dx$

　　　　

　　(14) $y=operatorname{arc}cot x$

　　　　${y}'={large -frac{1}{1+{{x}^{2}}}} $　　$d(operatorname{arc}cot x)={large -frac{1}{1+{{x}^{2}}}} dx$

　　　　

　　(15) $y=shx$

　　　　${y}'=chx$　　$d(shx)=chxdx$

　　(16) $y=chx$

　　　　${y}'=shx$　　$d(chx)=shxdx$

7 复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

　　(1) 反函数的运算法则：设 $y=f(x)$ 在点 $x$ 的某邻域内单调连续，在点 $x$ 处可导且 ${f}'(x) e 0$，则其反函数在点 $x$ 所对应的 $y$ 处可导，并且有  ${large frac{dy}{dx}=frac{1}{frac{dx}{dy}}} $。

　　(2) 复合函数的运算法则：若 $mu =varphi (x)$ 在点 $x$ 可导，而 $y=f(mu )$ 在对应点 $mu $ ( $mu =varphi (x)$ ) 可导，则复合函数 $y=f(varphi (x))$在点$x$可导,且${y}'={f}'(mu )cdot {varphi }'(x)$ 。

　　(3) 隐函数导数 $frac{dy}{dx}$ 的求法一般有三种方法：

1. 1. 方程两边对 $x$ 求导，要记住 $y$ 是 $x$ 的函数，则 $y$ 的函数是 $x$ 的复合函数。例如 $frac{1}{y}$，${{y}^{2}}$，$ln y$， ${{{e}}^{y}}$ 等均是 $x$ 的复合函数. 对 $x$ 求导应按复合函数连锁法则做。
   2. 公式法。由 $F(x,y)=0$ 知 $frac{dy}{dx}=-frac{{{{{F}'}}{x}}(x,y)}{{{{{F}'}}{y}}(x,y)}$,其中，${{{F}'}{x}}(x,y)$， ${{{F}'}{y}}(x,y)$分别表示$F(x,y)$对$x$和$y$的偏导数。
   3. 利用微分形式不变性。

8.常用高阶导数公式

　　（1）$({{a}^{x}})^{(n)}={{a}^{x}}{{ln }^{n}}aquad (a>{0})quad quad ({{{e}}^{x}})^{(n)}={e}{{,}^{x}}$

　　（2）$(sin kx{)}^{(n)}={{k}^{n}}sin (kx+ncdot frac{pi }{{2}})$

　　（3）$(cos kx{)}^{(n)}={{k}^{n}}cos (kx+ncdot frac{pi }{{2}})$

　　（4）$({{x}^{m}})^{(n)}=m(m-1)cdots (m-n+1){{x}^{m-n}}$

　　（5）$(ln x)^{(n)}={{(-{1})}^{(n-{1})}}frac{(n-{1})!}{{{x}^{n}}}$

　　（6）莱布尼兹公式：若 $u(x),,v(x)$ 均 $n$ 阶可导，则 ${{(uv)}^{(n)}}=sumlimits_{i={0}}^{n}{c_{n}^{i}{{u}^{(i)}}{{v}^{(n-i)}}}$，其中 ${{u}^{({0})}}=u$，${{v}^{({0})}}=v$

9.微分中值定理

　　Th1：(费马定理)

　　若函数 $f(x)$ 满足条件：

　　(1)函数 $f(x)$ 在 ${x_0}$ 的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有 $f(x)le f({x_0})$ 或 $f(x)ge f({{x}_{0}})$,

　　(2) $f(x)$ 在 ${x_0}$ 处可导,则有 ${f}'({x_0})=0$

　　Th2：(罗尔定理)

　　设函数 $f(x)$ 满足条件：

　　(1)在闭区间 $[a,b]$ 上连续；

　　(2)在 $(a,b)$ 内可导；

　　(3)$f(a)=f(b)$；

　　则在 $(a,b)$内一存在个 $xi $，使 ${f}'(xi )=0$

　　Th3: (拉格朗日中值定理)

　　设函数 $f(x)$ 满足条件：

　　(1)在 $[a,b]$ 上连续；

　　(2)在 $(a,b)$ 内可导；

　　则在 $(a,b)$ 内一存在个 $xi $，使 ${large frac{f(b)-f(a)}{b-a}} ={f}'(xi )$

　　Th4: (柯西中值定理)

　　设函数 $f(x)$，$g(x)$ 满足条件：

　　(1) 在$[a,b]$上连续；

　　(2) 在 $(a,b)$ 内可导且 ${f}'(x)$ ，${g}'(x)$ 均存在，且 ${g}'(x) e 0$

　　则在 $(a,b)$ 内存在一个$xi $，使 ${large frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}} ={large frac{{f}'(xi )}{{g}'(xi )}} $

10 洛必达法则

　　法则 Ⅰ ( $frac{0}{0}$ 型)

　　设函数 $fleft( x ight),gleft( x ight)$满足条件：

　　(1) $underset{x o x_0}{lim}     fleft( x ight)=0, underset{x o x_0}{lim}    gleft( x ight)=0$；

　　(2) $fleft( x ight),gleft( x ight)$ 在 ${x_0}$ 的邻域内可导，(在 ${x_0}$ 处可除外) 且 ${g}'left( x ight) e 0$；

　　(3) $underset{x o x_0}{lim}    frac{{f}'left( x ight)}{{g}'left( x ight)}$ 存在 (或$infty $)。

　　则：$underset{x o x_0}{lim}  frac{f(x)}{g(x)} =underset{x o x_0}{lim}  frac{f'(x)}{g'(x)} $。

　　法则 ${{I}'}$  ($frac{0}{0}$型)

　　设函数 $fleft( x ight),gleft( x ight)$

　　满足条件：

　　(1) $underset{x o x_0}{lim}  fleft(x ight)=0,underset{x o x_0}{lim}  gleft(x ight)=0$;

　　(2) 存在一个 $X>0$ ，当 $left| x ight|>X$ 时，$fleft( x ight),gleft( x ight)$ 可导，且 ${g}'left( x ight) e 0$；$underset{x o x_0}{lim}  frac{{f}'left(x ight)}{{g}'left(x ight)}$ 存在 (或 $infty $) 。

　　则：$underset{x o x_0}{lim}  frac{fleft( x ight)}{gleft( x ight)}=underset{x o x_0}{lim}  frac{{f}'left( x ight)}{{g}'left( x ight)}$。

　　法则 Ⅱ( $frac{infty }{infty }$ 型)

　　设函数 $fleft( x ight),gleft( x ight)$ 满足条件：

　　(1) $underset{x o x_0}{lim}  fleft( x ight)=infty ,underset{x o x_0}{lim}  gleft( x ight)=infty$；

　　(2) $fleft( x ight),gleft( x ight)$ 在 ${x_0}$  的邻域内可导(在 ${x_0}$ 处可除外)且${g}'left( x ight) e 0$；

　　(3) $underset{x o x_0}{lim}  frac{{f}'left( x ight)}{{g}'left( x ight)}$存在(或$infty$)。

　　则

　　$underset{x o x_0}{lim}  frac{fleft( x ight)}{gleft( x ight)}=underset{x o x_0}{lim}  frac{{f}'left( x ight)}{{g}'left( x ight)}$

　　同理法则 ${I{I}'}$($frac{infty }{infty }$ 型)仿法则 ${{I}'}$ 可写出。

11 泰勒公式

　　设函数 $f(x)$ 在点 ${x_0}$ 处的某邻域内具有 $n+1$ 阶导数，则对该邻域内异于 ${x_0}$ 的任意点 $x$，在 ${{x}_{0}}$ 与 $x$ 之间至少存在 一个 $xi$ ，使得：

　　　　$f(x)=f({x_0})+{f}'({x_0})(x-{x_0})+frac{1}{2!}{f}''({x_0}){{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+cdots+frac{{{f}^{(n)}}({x_0})}{n!}{{(x-{x_0})}^{n}}+{{R}_{n}}(x)...........(1)$

　　其中 ${R_n}(x)={large frac{{{f}^{(n+1)}}(xi )}{(n+1)!}} {{(x-{x_0})}^{n+1}}$ 称为 $f(x)$ 在点 ${{x}_{0}}$ 处的 $n$ 阶泰勒余项。

　　令 ${x_0}=0$，则 $n$ 阶泰勒公式 $f(x)=f(0)+{f}'(0)x+frac{1}{2!}{f}''(0){{x}^{2}}+cdots +frac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}{{x}^{n}}+{{R_n}}(x)$

　　其中 ${{R}_{n}}(x)=frac{{{f}^{(n+1)}}(xi )}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}$，$xi $ 在 0 与 $x$ 之间。(1) 式称为麦克劳林公式。

　　常用五种函数在${{x}_{0}}=0$处的泰勒公式

　　(1) ${{{e}}^{x}}=1+x+frac{1}{2!}{{x}^{2}}+cdots +frac{1}{n!}{{x}^{n}}+frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}{{e}^{xi }}$

　　　　或 $=1+x+frac{1}{2!}{{x}^{2}}+cdots +frac{1}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})$

　　(2) $sin x=x-frac{1}{3!}{{x}^{3}}+cdots +frac{{{x}^{n}}}{n!}sin frac{npi }{2}+frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}sin (xi +frac{n+1}{2}pi )$

　　　　或 $=x-frac{1}{3!}{{x}^{3}}+cdots +frac{{{x}^{n}}}{n!}sin frac{npi }{2}+o({{x}^{n}})$

　　(3) $cos x=1-frac{1}{2!}{{x}^{2}}+cdots +frac{{{x}^{n}}}{n!}cos frac{npi }{2}+frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}cos (xi +frac{n+1}{2}pi )$

　　　　或 $=1-frac{1}{2!}{{x}^{2}}+cdots +frac{{{x}^{n}}}{n!}cos frac{npi }{2}+o({{x}^{n}})$

　　(4) $ln (1+x)=x-frac{1}{2}{{x}^{2}}+frac{1}{3}{{x}^{3}}-cdots +{{(-1)}^{n-1}}frac{{{x}^{n}}}{n}+frac{{{(-1)}^{n}}{{x}^{n+1}}}{(n+1){{(1+xi )}^{n+1}}}$

　　　　或 $=x-frac{1}{2}{{x}^{2}}+frac{1}{3}{{x}^{3}}-cdots +{{(-1)}^{n-1}}frac{{{x}^{n}}}{n}+o({{x}^{n}})$

　　(5) ${{(1+x)}^{m}}=1+mx+frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+cdots +frac{m(m-1)cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}$ $+frac{m(m-1)cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}{{(1+xi )}^{m-n-1}}$

　　　　或 ${{(1+x)}^{m}}=1+mx+frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+cdots$ $+frac{m(m-1)cdots(m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})$

12 函数单调性的判断

　　Th1：设函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 区间内可导，如果对 $forall xin (a,b)$，都有 $f,'(x)>0$（或$f,'(x)<0$），则函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内是单调增加的（或单调减少）

　　Th2：(取极值的必要条件) 设函数 $f(x)$ 在 ${x_0}$ 处可导，且在 ${x_0}$ 处取极值，则 $f,'({{x}_{0}})=0$。

　　Th3：(取极值的第一充分条件) 设函数 $f(x)$ 在 ${x_0}$ 的某一邻域内可微，且 $f,'({x_0})=0$（或 $f(x)$ 在 ${x_0}$ 处连续，但 $f,'({x_0})$ 不存在。）

　　(1)若当 $x$ 经过 ${x_0}$ 时，$f,'(x)$ 由“+”变“-”，则 $f({x_0})$ 为极大值；

　　(2)若当 $x$ 经过 ${x_0}$时，$f,'(x)$ 由“-”变“+”，则 $f({x_0})$ 为极小值；

　　(3)若 $f,'(x)$ 经过 $x={x_0}$ 的两侧不变号，则 $f({x_0})$ 不是极值。

　　Th4：(取极值的第二充分条件)设 $f(x)$ 在点 ${x_0}$ 处有 $f''(x) e 0$，且 $f,'({x_0})=0$，则 当 $f','({x_0})<0$ 时，$f({x_0})$ 为极大值； 当 $f','({x_0})>0$ 时，$f({x_0})$ 为极小值。 注：如果 $f','({{x}_{0}})<0$，此方法失效。

13 渐近线的求法

　　(1) 水平渐近线若 $underset{x o +infty }{lim} f(x)=b$，或 $underset{x o -infty }{lim} f(x)=b$，则 $y=b$ 称为函数 $y=f(x)$ 的水平渐近线。

　　(2) 铅直渐近线若 $underset{x o x_0^{-}}{lim} f(x)=infty $，或 $underset{x o x_0^{+}}{lim}   f(x)=infty $，则 $x={{x}_{0}}$ 称为 $y=f(x)$ 的铅直渐近线。

　　(3) 斜渐近线 若  $a=underset{x o infty }{lim}  frac{f(x)}{x},quad b=underset{x o infty }{lim}  [f(x)-ax]$，则 $y=ax+b$ 称为 $y=f(x)$ 的斜渐近线。

14 函数凹凸性的判断

　　Th1: (凹凸性的判别定理）若在 $I$ 上$f''(x)<0$（或$f''(x)>0$），则 $f(x)$ 在 $I$ 上是凸的（或凹的）。

　　Th2: (拐点的判别定理 1) 若在 ${x_0}$ 处 $f''(x)=0$，（或 $f''(x)$ 不存在），当 $x$ 变动经过 ${x_0}$ 时，$f''(x)$ 变号，则 $({x_0},f({x_0}))$ 为拐点。

　　Th3: (拐点的判别定理 2) 设 $f(x)$ 在 ${x_0}$ 点的某邻域内有三阶导数，且 $f''(x)=0$，$f'''(x) e 0$，则 $({x_0},f({{x}_{0}}))$ 为拐点。

15 弧微分

　　$dS=sqrt{1+y{{'}^{2}}}dx$