剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题

剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

　　输入：n = 2
　　输出：2
示例 2：

　　输入：n = 7
　　输出：21
示例 3：

　　输入：n = 0
　　输出：1

解题思路

青蛙跳台阶问题，可以把n级台阶看成是n的函数，记为f(n)，假设跳上n级台阶，有f(n)种跳法，则当n=0或者n=1时，返回1。

青蛙的最后一步只有两种情况： 跳上1级或2级台阶

• 当为1级台阶： 剩n-1个台阶，此情况共有f(n-1)种跳法；
• 当为2级台阶： 剩n-2个台阶，此情况共有f(n-2)种跳法。

因此n级台阶的不同跳法数目就成为f(n)=f(n-1)+f(n-2)

斐波那契数列问题：f(0)=0 f(1)=1 f(2)=1
青蛙跳台阶问题：f(0)=1 f(1)=1 f(2)=2

本题可转化为 求斐波那契数列第n项的值 ，斐波那契数列的定义是 f(n+1)=f(n)+f(n-1)，生成第n项的做法有以下两种：

• 递归法：把f(n)问题的计算拆分成f(n-1)和f(n-2)两个子问题的计算，并递归，以f(0)和f(1)为终止条件，即n=0或者n=1时，返回1
• 动态规划：以斐波那契数列性质f(n+1)=f(n)+f(n-1)为转移方程，初始化前两个数字f(0)=1和f(1)=1，然后利用斐波那数列返回f(n)，即斐波那契数列的第n个数字

代码：

class Solution {
public:
    int numWays(int n) {
      int a=1,b=1,sum;
      for (int i = 0; i < n; i++)
      {
        sum=(a+b)%1000000007;
        a=b;
        b=sum;
      }
    }
};

 

class Solution {
public:
    int numWays(int n) {
      if(n==0) return 1;
      if(n==1) return 1;
      return numWays(n-1)+numWays(n-2);
    }
};