狄利克雷卷积 && 莫比乌斯反演

狄利克雷卷积 && 莫比乌斯反演

狄利克雷卷积

数论函数及其运算

数论函数是指定义域是正整数，值域是一个数集的函数。

加法，逐项相加，即((f+h)(n)=f(n)+h(n)​)；

数乘，这个数和每一项都相乘，即 ((xf)(n)=x·f(n)​)

狄利克雷卷积

定义两个数论函数的狄利克雷卷积 (*:​)

若(t=f*g​)，则(t(n)=sum_{d|n}^{}f(d)·g(frac{n}{d})​)，又或者写成(t(n)=sum_{ij=n}f(i)cdot g(j)​)。

卷积性质

1. 交换律：(f*g=g*f)
2. 结合律： ((f*g)*h=f*(g*h))
3. 分配律：((f+g)*h=f*h+g*h)
4. 单位元：(epsilon*f=f​),其中(epsilon=[n=1]​)
5. 逆 元： 对于每个(f(1) ot=0)的(f)，都存在一个(g)，使得(f*g=epsilon)，(g)为(f)的逆。

积性函数

定义不再重复。

常见的积性函数：

1.(phi(n)=nprod_{i=1}^{k}{frac{p_i-1}{p_i}})

2.(id^k(n)=n^k​),特别的记(I(n)=id^0(n)=1, id(n)=id^1(n)=n​)

3.(epsilon(n)=[n=1]​)

4.(mu(n)=cases{0,n存在两个或以上相同质因子\ (-1)^k,n不存在两个或以上相同质因子}，k为质因子个数​)

积性函数性质

1.积性函数的狄利克雷卷积还是积性函数。

2.积性函数的逆还是积性函数。

由积性函数的性质可知，通过计算出它在质因子幂处的取值，就可以得到它本身的值。

例如：(phi(n)=prod_{i=1}^{cnt}phi(p_i^{c_i})​)

另外，容易发现((phi * I)(p^k)=p^k​)，由性质1可得(phi*I=id​)。

莫比乌斯反演

运用上述知识，从卷积的角度来认识莫比乌斯反演。

首先重新认识一下(mu​)，定义(mu​)为(I​)的逆。

由于(I)是积性的，而(mu)是(I)的逆，所以(mu​)也是积性的。

利用(I*mu=epsilon​)，可以得出：

[mu(p^k)=cases{1 k=0\-1 k=1\0 k>1} ]

再利用积性函数的性质1，可以得到上面写到的(mu​)函数。

这个时候，我们顺便发现了一个(phi​)与(mu​)的关系：

[phi=id*I^{-1}=id*mu\ phi(n)=sum_{dmid n}dcdotmu(frac{n}{d}) ]

进入正题。

如果数论函数(f,g)满足:

[f(n)=sum_{d|n}g(n)\ ]

那么，

[g(n)=sum_{d|n}mu(d)cdot f(frac{n}{d}) ]

证明：直接写成卷积形式即可。

同时存在另外一种形式的莫比乌斯反演：

[f(n)=sum_{n|X}g(X)\ g(n)=sum_{n|X}mu(frac{X}{n})cdot f(X) ]

证明：

定义新运算((fodot g)(n)=sum_{n|X}f(frac{X}{n})cdot g(X))

下面先证明：((f*g)odot h=fodot (godot h)​)

[(fodot (godot h))(n)=sum_{n|X}f(frac{X}{n})sum_{X|P}g(frac{P}{X})h(P)\ =sum_{n|X}sum_{X|P}f(frac{X}{n})g(frac{P}{X})h(P)\ =sum_{n|P}(f*g)(frac{P}{n})h(P)\ =((f*g)odot h)(n) ]

所以就有

[g=(mu*I)odot g=muodot(Iodot g)=muodot f ]

应当注意的是：

[sum_{n|X}mu(frac{X}{n})cdot f(X) ot=sum_{n|X}mu(X)cdot f(frac{X}{n}) ]