总：
这里只包括了一些简单数学知识。
简单数论：
一、质数
1、单个质数的判定：① 试除法 ② Miller-Rabin
Miller-Rabin的基本思想：随机+费马小定理+二次探测定理。
2、质数的筛法 ：① 欧拉筛 ② 线性筛
线性筛基本思想：确定每个数产生的唯一方式
只给当前数乘上一个质因子，且使得这个质因子是生成的合数的最小质因子,这样保证了合数质因子从大到小累积
线性筛 ：
RG int n,m,cnt=0,i,j;
n=gi(),m=gi();
for(i=2;i<=n;++i) {
if(!minpr[i]) // 数i的最小质因子
pr[i]=1,minpr[i]=i,prime[++cnt]=i;
for(j=1;j<=cnt&&prime[j]<=minpr[i]&&prime[j]*i<=n;++j)
minpr[i*prime[j]]=prime[j];
}
3、质因数分解 ：① 试除法 ② Pollard-Rho-大数质因数分解
Pollard-Rho的讲解戳上面那个链接。
关于Pollard-Rho的小优化：
① 每次算出一个差x后，不单单只看是否x|N,而是看是否gcd(x,N)>1。
② 在①的基础上，不需要每次都算gcd，而可以每127(其他数应该也行)个x累乘起来，和N算一次gcd。
对Miller-Rabin的优化：对于质数选取选择:2,3,7,61,24251据说可以保证在10的14次方，只有46856248255981判不掉。
这样可以筛出N的每一个因子，然后用Miller-Rabin判断是否为质数即可。
IL int Pollard_rho(int x,int c) {
RG int i,j,Las,now=0,res,gcd;
for (i=2;;i<<=1) {
for (j=1,Las=now,res=1;j<=i;++j) {
now=(qm(now,now,x)+c)%x,res=qm(res,abc(now-Las),x);
if (!(i%137)) {
gcd=getgcd(x,res);
if (gcd>1) return gcd;
}
if (now==Las) return x;
}
gcd=getgcd(x,res);
if (gcd>1) return gcd;
}
}
IL void Find(int x,int c) {
if (x<2||x<=ans) return;
if (Miller_Rabin(x)) {ans=max(ans,x);return;}
RG int p=x;
while (p==x) p=Pollard_rho(x,c--);
while (x%p==0) x/=p;
Find(p,c),Find(x,c);
}
题目：
二、约数
1、算术基本定理及其推论：
算术基本定理的推论（N的正约数和）：
2、N的正约数集合的求法：试除法
3、1～N每个数的正约数集合：倍数法
4、最大公约数：欧几里得算法
5、互质与欧拉函数：
证明：
首先只考虑两个质因子p，q的情况。
那么需要去掉的是数是p，q的倍数，所以减掉(n/p,n/q)。
但是同时为p，q倍数的数被减掉了两次，所以加上(n/(p*q))。
所以得到(phi=n-n/p-n/q+n/(p*q)=n*(1-frac{1}{p})*(1-frac{1}{q}))。
对所有的质因子进行上述过程可以得到(phi(n))。
故欧拉函数的计算可在质因数分解的过程中求得。
欧拉函数的性质：
① 对于任意n>1 ,1～n中与n互质的数的和为
证明：
(ecause gcd(a,b)=gcd(a,a-b))。
( herefore)与n不互质的数(x,n-x)成对出现。
( herefore)这些数的平均值为(n/2)。
又(ecause sum_{i=1}^{n-1}i=frac{n}{2}*(n-1))
( herefore)与n互质的数的平均值也是(n/2)。
上述性质得证。
② 若a,b互质，则有：
证明：根据(phi)的定义，直接(a,b)分解质因数即可。
实际上，一个函数f，当a,b互质时，存在
那么f为积性函数。相关拓展内容
题目：
三、同余
1、费马小定理：若P是质数，那么对于任意整数a，有：
2、欧拉定理：若正整数a，n互质，则：
3、欧拉定理的推论：若正整数a，n互质，则对于任意整数b，有：
证明：
可以发现费马小定理是欧拉定理的n为质数时的一种特殊情况。
所以只需证明欧拉定理即可。下面证明欧拉定理。
记(1～n-1内与n互质的数为p_i,令x_i=a*p_i)
引理1：(x_i)在(mod n)意义下两两不同。
证明：反证法。
若(x_iequiv x_jmod n)，
则$x_i-x_jequiv0mod n (，即)a*(p_i-p_j)equiv0mod n$
(ecause a,p互质 o herefore nmid p_i-p_j)
显然(p_i,p_j<n,p_i eq p_j)，所以上式不成立。所以假设不成立。
引理2：(x_i)在(mod n)意义下与n互质。
证明：(gcd(x_i,n)=gcd(n,xi\%n)=1)
由于(p_i,x_i)都是(phi(n))个，(p_i,x_i)都是两两不同，并且(p_i,x_i)都与n互质
所以数集(P={p_iin P})与数集(X={x_iin X})相等。
所以可以得到：
[x_1*x_2…*x_{phi(n)}equiv p_1*p_2*…p_{phi(n)}mod n\ a*p_1*a*p_2*…a*p_{phi(n)}equiv p_1*p_2*…p_{phi(n)}mod n\ (a^{phi(n)}-1)*p_1*p_2*…p_{phi(n)}equiv 0 mod n\ herefore a^{phi(n)}equiv 1 mod n ]命题得证。
关于欧拉定理的推论的证明：令(b=p*phi(n)+q)，把次方展开即可。
４、裴蜀定理：对于任意整数a，b，存在一对整数ｘ，ｙ，满足：
证明：考虑欧几里得算法的过程。
当b=0时可以得到一组特解，每次回到上一层时，用原来的解总是可以得到一组新解。
扩展欧几里得算法即基于上述过程。
推广：对于更加一般的方程
它有解，当且仅当：
5、乘法逆元的求法（记为inv）：
① 费马小定理(若模数Ｐ为质数)。
② 扩展欧几里得算法。
③ 线性递推逆元:
证明：
[i*lfloorfrac{P}{i} floor+P\%iequiv0mod P\ lfloorfrac{P}{i} floorequiv-P\%i*i^{-1}mod P\ i^{-1}equiv-lfloorfrac{P}{i} floor*(P\%i)^{-1}mod P\ i^{-1}equiv(P-lfloorfrac{P}{i} floor)*(P\%i)^{-1}mod P\ ]
6、线性同余方程：CRT & ExCRT
7、高次同余方程：BSGS & ExBSGS
题目：
③ ExCRT模板
④ BSGS模板
⑤ ExBSGS模板
线性代数 & 组合数学：
四、矩阵乘法
主要用于加速递推。
需要特别留心的是关于类似floyd的可行矩阵的递推，可能会有点抽象。
直接上题吧：
五、高斯消元与线性空间
1、Gauss_Jordan消元法（无回带操作）
IL void Gauss_Jordan() {
RG int i,j,k,l;
for(i=1;i<=n;++i) {
for(j=cnt+1,l=0;j<=n;++j)
if(fabs(a[j][i])>eps) {l=j;break;}
if(!l) continue;
for(j=i,++cnt;j<=n+1;++j) swap(a[cnt][j],a[l][j]);
for(j=i+1;j<=n+1;++j) a[cnt][j]/=a[cnt][i];
a[cnt][i]=1.0;
for(j=1;j<=n;++j) {
if(j==cnt) continue;
RG DB res=a[j][i]/a[cnt][i];
for(k=i;k<=n+1;++k) a[j][k]-=res*a[cnt][k];
}
}
for(i=cnt+1;i<=n;++i)
if(fabs(a[i][n+1])>eps) {puts("-1");exit(0);}
if(cnt<n) {puts("0");exit(0);}
}
// 无解输出-1 无穷解输出0
2、线性基
题目：
① 球形空间产生器
② 开关问题
③ 线性基模板
六、组合计数
1、加法原理 & 乘法原理
不多说。。
2、排列 & 组合：
从n个不同元素中选m个元素排成一列，产生的不同排列数量为：
从n个不同元素中选m个元素组成一个集合，产生的不同集合数量为：
3、二项式定理：
4、多重集的排列 & 组合：
设多重集S={c1·a1,c2·a2……cN·aN}，S的全排列个数为：
设多重集S={c1·a1,c2·a2……cN·aN}，则从中选出r个元素组成一个多重集（此处仅考虑r<=ni的情况）的数量为：
对于r更加一般的情况，需要用到容斥，此处不作深究。
5、Lucas定理：
若P为质数，则对于任意整数1≤m≤n，有：
实现的话递归即可。
推广：Exlucas，可以处理P为任意数的情况。有兴趣的戳这里
题目：
② 古代猪文