• 【BZOJ1095】【ZJOI2007】捉迷藏 [动态点分治]


    捉迷藏

    Time Limit: 40 Sec  Memory Limit: 256 MB
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    Description

      捉迷藏 Jiajia和Wind是一对恩爱的夫妻,并且他们有很多孩子。某天,Jiajia、Wind和孩子们决定在家里玩捉迷藏游戏。
      他们的家很大且构造很奇特,由N个屋子和N-1条双向走廊组成,这N-1条走廊的分布使得任意两个屋子都互相可达。
      游戏是这样进行的,孩子们负责躲藏,Jiajia负责找,而Wind负责操纵这N个屋子的灯。
      在起初的时候,所有的灯都没有被打开。
      每一次,孩子们只会躲藏在没有开灯的房间中,但是为了增加刺激性,孩子们会要求打开某个房间的电灯或者关闭某个房间的电灯。
      为了评估某一次游戏的复杂性,Jiajia希望知道可能的最远的两个孩子的距离(即最远的两个关灯房间的距离)。
      我们将以如下形式定义每一种操作:
      C(hange) i 改变第i房间的照明状态,若原来打开,则关闭;若原来关闭,则打开。
      G(ame) 开始一次游戏,查询最远的两个关灯房间的距离。

    Input

      第一行包含一个整数N,表示房间的个数,房间将被编号为1,2,3…N的整数。
      接下来N-1行每行两个整数a, b,表示房间a与房间b之间有一条走廊相连。
      接下来一行包含一个整数Q,表示操作次数。
      接着Q行,每行一个操作,如上文所示。

    Output

      对于每一个操作Game,输出一个非负整数,表示最远的两个关灯房间的距离。若只有一个房间是关着灯的,输出0;若所有房间的灯都开着,输出-1。

    Sample Input

      8
      1 2
      2 3
      3 4
      3 5
      3 6
      6 7
      6 8
      7
      G
      C 1
      G
      C 2
      G
      C 1
      G

    Sample Output

      4
      3
      3
      4

    HINT

      对于100%的数据, N ≤100000, M ≤500000。

    Main idea

      给定一棵树,有0点或者1点,每次查询最远的两个1点之间的距离,需要支持修改0和1。

    Solution

      我们先观察一下数据,由于n<=10^5,所以O(n^2)的做法不可行。我们先考虑如何静态查询,首先我们第一反应想到了树形DP,然后发现这种方法无法优化。考虑一下有什么方法是log级别的呢?我们想到了点分,静态点分的做法就是每次取出重心,然后查询最深的1点的深度即可,要如何优化呢?发现如果点分可以动态实现的话就可以AC了。那么现在确定了算法:动态点分治
      我们先从点分的角度来剖析一下,点分其实就相当于每次找到重心,处理和重心有关的路径,然后把重心割掉,将树分为多个小块,这样将所有路径上的信息存到了重心上,降低规模处理问题,有效降低复杂度。那么动态点分治就相当于用线段树处理序列问题一样,在分治的框架上加上了对于每个点的信息维护,对于每个点用堆来维护信息,这样来实现信息的维护与查询。
      我们分几步来实现:
      1. 建立“重心树”:我们发现我们在点分中重心存着路径的信息,所以我们只要维护跟重心有关的信息就可以了,考虑到分治过程的性质,所以修改了一个点,只会影响到这个点作为一个重心时以上的重心(以下称为“父重心”),所以我们先根据找重心的过程建立一棵“重心树”,一个点(作为重心时)隔开后得到的若干棵子树中的每一个重心的父重心就是这个点(这个点称为“子重心”),所以可以证明这棵树的深度是log级别的。每次只需要修改这个点在重心树中到根的路径上的点。
      2. 构建可删堆:由于我们要维护的是最长链,思考静态的时候要维护的就是最大值,那么动态时我们就需要一个数据结构来维护这些最大值,支持更改与删除等操作,我们想到了“堆”,由于这个堆是需要支持删除操作的,这里讨论一下怎么删除:对于每个heap堆再开一个del堆,删除一个点的时候将要删除的值加入到del堆里面,然后调取top的时候如果heap堆和del堆的堆顶是一样的同时pop掉,直到不一样的时候的top就是真正的top了,其余操作类似。
      3. 维护信息:对于每个点开两个堆维护信息,第一个c堆维护“这个重心的子树(包括这个重心)到父重心的距离”(求距离用LCA即可),第二个b堆维护“这个重心隔开后的几个子树中的最大深度(也就是子重心c堆的堆顶)”,然后全局开一个A堆维护“每一个b堆的最大值和次大值”,那么显然答案就是堆A的top。
      4. 修改操作:这里讨论一下将1点变为0点的操作(0变为1类似),每次修改一个点显然需要直接影响到c堆,将在重心树中到根位置的中的点的c堆中删除掉这个点的值,就会影响到b堆,然后最终影响到A堆。每次修改先删除掉堆A的top,然后在父重心的b堆中删除掉这个点的c堆的top,删除掉这个c堆的top,然后再在父重心的b堆中加入这个点的c堆的top即可,修改的时候再维护一下A堆即可,处理一下细节。

    Code

      1 #include<iostream>  
      2 #include<algorithm>  
      3 #include<cstdio>  
      4 #include<cstring>  
      5 #include<cstdlib>  
      6 #include<cmath>
      7 #include<queue>
      8 using namespace std;  
      9        
     10 const int ONE=100005;
     11    
     12 int n,T;
     13 int x,y;
     14 int next[ONE*2],first[ONE*2],go[ONE*2],tot;
     15 int Dep[ONE],Turnoff[ONE],Light;
     16 int fat[ONE];
     17 int f[ONE][21];
     18 char ch[10];
     19    
     20 int get()
     21 { 
     22         int res,Q=1;    char c;
     23         while( (c=getchar())<48 || c>57)
     24         if(c=='-')Q=-1;
     25         if(Q) res=c-48; 
     26         while((c=getchar())>=48 && c<=57) 
     27         res=res*10+c-48; 
     28         return res*Q; 
     29 }
     30    
     31 int Add(int u,int v)
     32 {
     33         next[++tot]=first[u];   first[u]=tot;   go[tot]=v;
     34         next[++tot]=first[v];   first[v]=tot;   go[tot]=u;
     35 }
     36    
     37    
     38 struct Heap_deal
     39 {
     40         priority_queue <int> heap,delet;
     41            
     42         void add(int x) {heap.push(x);}
     43         void del(int x) {delet.push(x);}
     44         void Pop()
     45         {
     46             while(!delet.empty() && heap.top()==delet.top())
     47             {
     48                 heap.pop();
     49                 delet.pop();
     50             }
     51             heap.pop();
     52         }
     53            
     54         int Top()
     55         {
     56             while(!delet.empty() && heap.top()==delet.top())
     57             {
     58                 heap.pop();
     59                 delet.pop();
     60             }
     61             return heap.top();
     62         }
     63            
     64         int SecondTop()
     65         {
     66             int jilu1=Top(); Pop();
     67             int jilu2=Top(); add(jilu1);
     68             return jilu2;
     69         }
     70            
     71         int Size()
     72         {
     73             return heap.size()-delet.size();
     74         }
     75 }A,b[ONE],c[ONE];
     76    
     77 void ADD(Heap_deal &a)
     78 {
     79         if(a.Size()>=2)
     80         {
     81             int r1=a.Top();
     82             int r2=a.SecondTop();
     83             A.add( r1+r2 );
     84         }
     85 }
     86    
     87 void DEL(Heap_deal &a)
     88 {
     89         if(a.Size()>=2)
     90         {
     91             int r1=a.Top();
     92             int r2=a.SecondTop();
     93             A.del( r1+r2 );
     94         }
     95 }
     96   
     97 namespace PartLCA
     98 {
     99         void Deal_first(int u,int father)
    100         {
    101             Dep[u]=Dep[father]+1;
    102             for(int i=0;i<=19;i++)
    103             {
    104                 f[u][i+1]=f[f[u][i]][i];
    105             }
    106                     
    107             for(int e=first[u];e;e=next[e])
    108             {
    109                 int v=go[e];
    110                 if(v==father) continue;
    111                 f[v][0]=u;
    112                 Deal_first(v,u);
    113             }
    114         }
    115            
    116         int LCA(int x,int y)
    117         {
    118             if(Dep[x]<Dep[y]) swap(x,y);
    119             for(int i=20;i>=0;i--)
    120             {
    121                 if(Dep[f[x][i]]>=Dep[y]) x=f[x][i];
    122                 if(x==y) return x;
    123             }
    124               
    125             for(int i=20;i>=0;i--)
    126             {
    127                 if(f[x][i]!=f[y][i])
    128                 {
    129                     x=f[x][i];
    130                     y=f[y][i];
    131                 }
    132             }
    133             return f[x][0];
    134         }
    135            
    136         int dist(int x,int y)
    137         {
    138             return Dep[x]+Dep[y]-2*Dep[LCA(x,y)];
    139         }
    140 }
    141   
    142   
    143 namespace PointF
    144 {
    145         int Min,center,vis_center[ONE];
    146            
    147         struct power
    148         {
    149             int size,maxx;
    150         }S[ONE];
    151            
    152            
    153         void Getsize(int u,int father)
    154         {
    155             S[u].size=1;
    156             S[u].maxx=0;
    157             for(int e=first[u];e;e=next[e])
    158             {
    159                 int v=go[e];
    160                 if(v==father || vis_center[v]) continue;
    161                 Getsize(v,u);
    162                 S[u].size+=S[v].size;
    163                 S[u].maxx=max(S[u].maxx,S[v].size);
    164             }
    165         }
    166              
    167         void Getcenter(int u,int father,int total)
    168         {
    169             S[u].maxx=max(S[u].maxx,total-S[u].size);
    170             if(S[u].maxx<Min)
    171             {
    172                 Min=S[u].maxx;
    173                 center=u;
    174             }
    175                
    176             for(int e=first[u];e;e=next[e])
    177             {
    178                 int v=go[e];
    179                 if(v==father || vis_center[v]) continue;
    180                 Getcenter(v,u,total);
    181             }
    182         }
    183            
    184         void Add_c(int u,int father,int center)
    185         {
    186             c[center].add(PartLCA::dist(u,fat[center]));
    187             for(int e=first[u];e;e=next[e])
    188             {
    189                 int v=go[e];
    190                 if(v==father || vis_center[v]) continue;
    191                 Add_c(v,u,center);
    192             }
    193         }
    194            
    195            
    196         void New_tree(int u,int Last)
    197         {
    198             Min=n;
    199             Getsize(u,0);
    200             Getcenter(u,0,S[u].size);
    201             vis_center[center]=1;
    202                
    203             fat[center]=Last;
    204             if(Last!=0) Add_c(center,0,center);
    205             if(c[center].Size()) b[Last].add(c[center].Top());
    206                
    207             int root=center;
    208             for(int e=first[center];e;e=next[e])
    209             {
    210                 int v=go[e];
    211                 if(vis_center[v]) continue;
    212                 New_tree(v,root);
    213             }
    214         }
    215 }
    216   
    217 namespace Control
    218 {
    219         void Turn_off(int x)
    220         {
    221             for(int i=x;fat[i];i=fat[i])
    222             {
    223                 DEL(b[fat[i]]);
    224                 if(c[i].Size()) b[fat[i]].del(c[i].Top());
    225                   
    226                 c[i].del(PartLCA::dist(fat[i],x));
    227                        
    228                 if(c[i].Size()) b[fat[i]].add(c[i].Top());
    229                 ADD(b[fat[i]]);
    230             }
    231         }
    232            
    233         void Turn_on(int x)
    234         {
    235             for(int i=x;fat[i];i=fat[i])
    236             {
    237                 DEL(b[fat[i]]);
    238                 if(c[i].Size()) b[fat[i]].del(c[i].Top());
    239                   
    240                 c[i].add(PartLCA::dist(fat[i],x));
    241                      
    242                 if(c[i].Size()) b[fat[i]].add(c[i].Top());
    243                 ADD(b[fat[i]]);
    244             }
    245         }
    246 }
    247   
    248    
    249 int main()
    250 {
    251         n=get();
    252         Light=n;
    253         for(int i=1;i<=n;i++) Turnoff[i]=1;
    254         for(int i=1;i<n;i++)
    255         {
    256             x=get();    y=get();
    257             Add(x,y);
    258         }
    259            
    260         PartLCA::Deal_first(1,0);
    261         PointF::New_tree(1,0);
    262            
    263         for(int i=1;i<=n;i++) ADD(b[i]);
    264            
    265         T=get();
    266         while(T--)
    267         {
    268             scanf("%s",ch);
    269             if(ch[0]=='G')
    270             {
    271                 if(Light==0) printf("-1");
    272                 else if(Light==1) printf("0");
    273                 else printf("%d",A.Top());
    274                 printf("
    ");
    275             }
    276                
    277             if(ch[0]=='C')
    278             {
    279                 x=get();
    280                 if(Turnoff[x])
    281                 {
    282                     Turnoff[x]=0;
    283                     Light--;
    284                     Control::Turn_off(x);
    285                 }
    286                 else
    287                 {
    288                     Turnoff[x]=1;
    289                     Light++;
    290                     Control::Turn_on(x);
    291                 }
    292             }
    293         }
    294 }
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