图论相关性质和结论（基础）

图论相关性质和结论整理

树的直径相关

1. 边权非负时，两端点必为叶子节点。

2. 对于两棵树，第一棵树的直径端点为 (u_1,v_1) ，第二棵的为 (u_2,v_2) ，将两棵树用一条边合并，新树的直径的端点必为上述四个端点中的两个。

3. 若在一棵树的叶子结点上新接一个节点，直径最多会改变一个端点。

4. 一棵树多条直径的交点是这些直径的中点。

5. 若树的直径定义为两端点点权和加边权和，边权非负，点权可以为负数，可以用贪心法求直径。

树的重心相关

1. 树的重心至多有两个，树的重心有两个时必树的大小必为偶数，有两个重心时两重心相邻，且两重心两子树大小为 (frac{n}{2}) 和 (frac{n}{2} - 1) 。

2. 在一个 (n) 阶树中，一个点是重心 (Longleftrightarrow) 该点的子树大小 (size_v leq frac{n}{2}) 。

3. 设 ( ext{dist}(u,v)) 表示树中点 (u) 到 (v) 之间的简单路径长度，那么一个点 (G) 是重心 (Longleftrightarrow) 对于 (forall u eq G) ，有 (sum_{v=1}^n ext{dist}(u,v) geq sum_{v=1}^n ext{dist}(G,v)) 。

4. 若一棵树添加或删除一个叶子，整个树的重心最多移动一个节点。

5. 将两棵树用一条边连接，生成的新树的重心在原来两棵树的重心的简单路径上。

6. 重心一定在根节点的重链上。

相关性质证明 相关性质证明

MST 相关

1. 在最小生成树去掉一条边 (e) ，树被分为两个点集 (S_u) ，(S_v) ，那么 (e) 是两个点集之间的最小的边。

2. 最小生成树的第 (k) 小边是所有生成树第 (k) 小边的最短边。

3. 对于联通图中的一个点，所有连接该边的最短边，必定为此图 MST 中的一条边。

4. 若一个联通块属于 MST ，从外部到该联通块的最小的一条边也属于 MST 。

5. 对于任意连通图， MST 中每种权值的边的数量是一定的。

Prufer 序列

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基本性质：

1. Prufer 序列不考虑节点数为 (1) 的情况。

2. 若一个点的度数为 (d_i) ，在 Prufer 序列中出现的次数为 (d_i - 1) 。

3. Prufer 序列和树形态形成双射关系。

Cayley's Formula :

• 带标号 (n) 阶无根树个数 ：(n^{n-2})

• 设树中点 (i) 的度数为 (d_i) ， (n) 阶无根树个数 ： ({(n-2)!over prod_{i=1}^n d_i})

Generalized Cayley's Formula :

• 设 (f(n,m)) 为 (n) 个点构成 (m) 棵树，且对于 (forall i leq m) 都不在一棵树中，有标号，无根，则有 (f(n,m) = mn^{n-m-1}) 。

拓展：

(n) 个带权的点，边权为连接两点点权之积，树的权值为所有边权之积，求所有树的权值之和。

设第 (i) 个点权值为 (val_i) ，度数为 (d_i)，单棵树权值为 (prod_{i=1}^n val_i^{d_i}) 。

考虑 Prufer 序列，根据乘法分配律有，答案为

[left(prod_{i=1}^n{val_i} ight)left(sum_{i=1}^nval_i ight)^{n-2} ]

应用：图联通方案数

模拟赛考了，考完一看我自己的博客居然咕掉了

秉持着只有结论的原则。

一个 (n) 个点 (m) 条边的带标号无向图有 (k) 个连通块。我们希望添加 (k - 1) 条边使得整个图连通。求方案数。

结论：(n ^ {k - 2} prod_{i = 1} ^ k s_i) 。其中 (s_i) 表示第 (i) 个联通块的大小。

证明：OI Wiki 。

欧拉图、半欧拉图、欧拉回路、欧拉通路

1. 若 (G) 是欧拉图，则它为若干个边不重的圈的并。

2. 若 (G) 是半欧拉图，则它为若干个边不重的圈和一条简单路径的并。

3. 对于无向图 (G) ， (G) 是欧拉图当且仅当 (G) 是联通的且没有奇度顶点。

4. 对于无向图 (G) ， (G) 是半欧拉图当且仅当 (G) 是联通的且 (G) 中恰好有 (0) 或 (2) 个奇度顶点。

5. 对于有向图 (G) ， (G) 是欧拉图当且仅当 (G) 的所有顶点属于同一个强连通分量且每个顶点的入度和出度相同。

6. 对于有向图 (G) ， (G) 是半欧拉图当且仅当

• 如果将 (G) 中的所有有向边退化为无向边时，那么 (G) 的所有顶点属于同一个连通分量。
• 最多只有一个顶点的出度与入度差为 (1)。
• 最多只有一个顶点的入度与出度差为 (1)。
• 所有其他顶点的入度和出度相同。

哈密顿图、哈密顿回路、哈密顿通路

性质：

1. 设 (G=<V,E>) 是哈密顿图，则对于 (V) 的任意非空子集 (V') ，均有 (p(G-V')leq|V'|) 。其中 (p(x)) 为 (x) 的连通分支数。
   对于半哈密顿图，有 (p(G-V') leq |V'|+1) 。

2. 完全图 (K_{2k+1}(kgeq 1)) 中含 (k) 条边不重的哈密顿回路，且这 (k) 条边不重的哈密顿回路包含 (K_{2k+1}) 的所有边。

3. 完全图 (K_{2k}(kgeq 2)) 中含 (k-1) 条不重的哈密顿回路，从 (K_{2k}(k geq 2)) 中删除这 (k-1) 条不重的哈密顿回路后所得到的图包含 (k) 条互不相邻的边。

4. 设 (G) 是 (n(ngeq 2)) 的无向简单图，若对于 (G) 中不相邻的两个顶点 (u, v) ，均有 (d(u) + d(v) geq n - 1) ，则 (G) 中存在哈密顿通路。

5. 设 (G) 是 (n(ngeq 3)) 的无向简单图，若对于 (G) 中不相邻的两个顶点 (u, v) ，均有 (d(u) + d(v) geq n) ，则 (G) 中存在哈密顿回路，从而 (G) 是哈密顿图。

6. 设 (G) 是 (n(ngeq 2)) 的无向简单图，若对于 (G) 中任意顶点 (u) ，均有 (d(u) geq frac{n}{2}) ，则 (G) 中存在哈密顿回路，从而 (G) 是哈密顿图。

7. 设 (D) 为 (n(ngeq 2)) 阶竞赛图，则 (D) 中存在哈密顿通路。

8. 若 (D) 含 (n(ngeq 2)) 阶竞赛图为子图，则 (D) 中存在哈密顿通路。

9. 强连通的竞赛图为哈密顿图。

10. 若 (D) 含 (n(ngeq 2)) 阶竞赛图作为子图，则 (D) 中存在哈密顿回路。

竞赛图相关

概念：

1. 竞赛图：({n choose 2}) 条边的有向图，无重边或自环。

2. 比分序列： 把竞赛图的每一个点的出度从小到大排序的序列。

性质：

1. 缩点后生成的 DAG 呈链状，前面的点向后面的点连边。

2. 每个强连通分量中存在一条哈密顿回路，整个图中存在一条哈密顿通路。

3. 在每个大小 (size>1) 的强连通分量中，存在大小为 ([3,size]) 的环。

4. 兰道定理 (Landau's Theorem)：

竞赛图的比分序列合法当且仅当
(forall iin[1,n]) ，满足 (sum_{k=1}^i s_k geq {i choose 2}) ，详细证明。

5. 设有集合 (P) 对于 (forall iin P) 满足 (sum_{k=1}^i s_k = {ichoose 2}) ，则点 ([P_i + 1, P_{i+1}]) 会组成一个强连通分量。

计数（带标号）：

1. (n) 阶竞赛图个数为 (h_n = 2^{frac{n imes(n-1)}{2}})

2. 强连通的 (n) 阶竞赛图个数 (f_n = h_n - sum_{k=1}^{n-1} h_k imes {n choose k} imes f_{n - k})

二分图

1. 最小点覆盖 = 二分图最大匹配

2. 最小边覆盖 = 总点数 - 最大匹配

3. 最大独立集 = 总点数 - 最大匹配

4. DAG 最小 不相交 / 可相交 路径点覆盖

5. 有向图最小环覆盖

网络流

咕~~~~

Reference

OI-Wiki & 前文中链接