数塔 HDU 2084

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2084

https://vjudge.net/contest/342215#problem/D

题目描述：

数塔

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 73975    Accepted Submission(s): 42708

Problem Description

在讲述DP算法的时候，一个经典的例子就是数塔问题，它是这样描述的：
有如下所示的数塔，要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

已经告诉你了，这是个DP的题目，你能AC吗?

 

Input

输入数据首先包括一个整数C,表示测试实例的个数，每个测试实例的第一行是一个整数N(1 <= N <= 100)，表示数塔的高度，接下来用N行数字表示数塔，其中第i行有个i个整数，且所有的整数均在区间[0,99]内。

 

Output

对于每个测试实例，输出可能得到的最大和，每个实例的输出占一行。

 

Sample Input

1
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

 

Sample Output

30

 

解题思路：

对于这道题，我们很容易能够想到用递归自顶向下的思想来求解。因为对于每一个数，从它往下走的话只能走向它的正下或是右下（对于输入的样例来说），所以我们可以递归每个数能够达到的最优解然后把它反馈给(1,1)。

当达到最末的位置时（即i==n）返回 dp[i][j]，否则就找其下方的最大的那个值，然后把它加起来。

#include <bits/stdc++.h>

#define N 100010

using namespace std;

typedef long long int ll;

/*******************
(1,1)
(2,1) (2,2)
(3,1) (3,2) (3,3)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
********************/

int n;
int dp[110][110]={0};
int max_num(int i, int j){
    if(i==n) return dp[i][j];   //递归出口
    else return dp[i][j]+max(max_num(i+1, j), max_num(i+1, j+1)); //求当前位置的最优解
}

int main()
{
    int c;
    cin>>c;
    while(c--){
        int i, j;
        cin>>n;
        for(i=1; i<=n; i++){
            for(j=1; j<=i; j++){
                cin>>dp[i][j];
            }
        }
        cout<<max_num(1, 1)<<'
';
    }
    return 0;
}

显然，递归的效率在这里很低，由于我们需要对每个数向下两分支查找，当我们处于dp[i][j]时，我们会对(i+1 , j)和(i+1 , j+1)向下进行一次搜索，而当在dp[i][j+1]时，又对(i+1, j+1)进行了一次搜索，所以我们能想到，如果把(i+1, j+1)的结果记录下来，那么就能减少一些搜索的时间，而且，可以大大降低降低原来为Ο(2ⁿ)的时间复杂度。因为改变后，我们需要进行的操作数就只有1+2+3+……+n=(n²-n)/2，时间复杂度为Ο(n²)。

所以我们可以得到动态转移方程 dp[i][j]=a[i][j]+max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])。

代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>

#define N 100010

using namespace std;

typedef long long int ll;

/*******************
(1,1)
(2,1) (2,2)
(3,1) (3,2) (3,3)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
********************/

int main()
{
    int a[110][110];
    int c;
    int n;
    scanf("%d", &c);
    while(c--){
        int i, j;
        int dp[200][200]={0};
        scanf("%d", &n);
        for(i=1; i<=n; i++){
            for(j=1; j<=i; j++){
                scanf("%d", &a[i][j]);
            }
        }
        for(i=n; i>=1; i--){　　　　//从后往前
            for(j=1; j<=n; j++){
                dp[i][j]=a[i][j]+max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]);   //将到a[i][j]的最优解存到dp[i][j]中
            }
        }
        printf("%d
", dp[1][1]);
    }
    return 0;
}