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摘要:前缀树(retrival, 简称trie)是一种可以支持快速模式检索的数据结构。在trie的基础上，一些人发展出了各种各样的压缩版本，比如双数组前缀树(Double-Array Trie, DAT)。DAT是各版本trie中，检索速度最快、压缩效率最高的一种，是高性能分词器存储词汇表时的首选。本文主要介绍DAT的基本思想、查询过程、构建过程和维护方法，对它的优劣势和适用场景进行了分析，最后用python语言实现了一个DAT、以具体地展示它的各个方面。
1. 引言
在信息检索领域，人们设计了多种多样的数据结构来提供各种各样的功能，以解决生产里出现的各种各样的需求。比如，在搜索引擎里，我们需要把序列数据(关键词或查询语句)妥善地存储起来，并且支持快速的查询，为此人们提出了前缀树(trie, 也叫字典树)。
2. 前缀树
前缀树的定义可以参考
李鹏宇：前缀树的简单实现zhuanlan.zhihu.com
。我们主要关心的，是前缀树的实现，即其节点和边的存储形式，以及模式的查询方式。
2.1. 基于哈希映射的trie
我们可以使用哈希映射来存储前缀树中，一个节点与其前驱节点的链接关系，进而实现一个基于哈希映射的trie。这是一种比较符合直觉的实现方式。
以散列表为例，哈希映射的查询动作，由映射和判断组成。查询动作耗时主要分布在映射环节，即使用哈希函数将数据映射为列表中的地址，因此基于哈希映射的trie的查询动作时间复杂度是O(k),其中k为待匹配模式串的长度。这个结构已经很快了。
2.2. 基于数组的trie
一些人希望进一步优化trie的查询性能，并为此提出了基于数组的trie，包括4数组trie、3数组trie和双数组trie。双数组trie是这类trie中，空间复杂度和时间复杂度最好的版本，应用较多。它把前缀树看做一个有限自动机——每个节点是状态机的状态，节点存储的字符是状态机的输入。状态机从一个节点出发，接收当前节点存储的字符，就可以转换到下一个状态，即后驱节点。我们可以采用非常简单的状态转换公式，即加法。这样，双数组trie查询操作的时间复杂度仍然是O(k)，但是由于基本操作的复杂度很低，理论上速度比基于哈希映射的trie快。
3. 双数组前缀树的查询
3.1. 一维数组与有限状态机
我们用一个一维数组base来存储两个信息：（1）数组的index表示状态(对应前缀树上每一个节点;index就是相应节点的唯一表示);(2)每一个index上存储的数值的绝对值，是一个位移量(后面我们会解释这个值的含义和用法)。为了实现基于加法的状态转换，我们直接使用字符的ASCII码来表示字符(当然也可以用一个字符-ID映射来得到字符的整数类型id)。从一个字符串的第t-1个字符出发，转换到第t个字符的过程，可以这样描述:
其中charID表示字符的ASCII码。这个式子所描述的动作，有点像循环神经网络(recurrent neural network, RNN)的神经元的行为，即基于模型过去的输出和当前时间的输入，计算当前的输出。
我们可以举一个例子来展示DAT的查询过程。
3.2. 双数组trie的查询过程
直观地看，DAT是一个自动机，其输入为上一个时间步的状态和当前时间的输入。每输入字符串的一个字符，自动机就基于这个字符以及之前时间步的状态，计算当前时间步的状态。我们基于自动机计算得到的状态来判断，目前已经输入的字符串，是否为词汇表某些词语的前缀——如果是，继续向自动机输入下一个字符；如果不是，说明词汇表没有收录这个字符串。
如表3-1，是一个简化版的字符编码表；3-2是一个简化版的词汇表。我们可以把词汇表存储到入一个基于hashmap的字典树，逻辑结构如图3-1。我们也可以把词汇表存储在一个双数组结构中，如表3-3。
表3-1 字符编码表示例
表3-2 词汇表
表3-3 两个一维数组的内容
图3‑1 trie的逻辑结构
对结语hashmap的前缀树进行查询是比较容易的，只需要进行若干次map查询即可。那么，DAT的查询是否一样简单呢？
假如我想确认词语“人民”是否在词汇表中，需要这样查询:
(1) 初始状态是index=0;
(2) 向状态机输入”人”，得到下一个状态index=base[0] + 3=4。Check[4]=0,即新状态的前驱状态确实是0，表明词汇表中确实有一些首字为”人”的词语;
(3) 继续向状态机输入”民”，得到下一个状态index=base[4] + 4=5。Check[5]=4，即新状态的前驱状态确实是4，表明词汇表中确实有前缀为”人民”的词语。
(4) 正在检查的词语已经读取到词尾了，而Base[5]=-6<0，表明词汇中存在一个词语“人民”。也就是说，词汇表收录了正在检查的词语。
总的来说，DAT的查询操作非常简单快速。那么，base数组和check数组是什么，又是如何得到的呢？
3.3. base数组和check数组是什么？
如前所述，base数组里存储了两份信息：（1）index表示一个状态；（2）每个index处存储的整数，是计算后驱状态时，所需的偏移量。
Check数组里，存储的是一份校验信息，用于确认一个状态转移是否合法。
4. 双数组前缀树的构建
双数组前缀树的构建是一个相对比较复杂的过程，需要循序渐进地搞明白。
4.1. 构建DAT的基本思路
我们的任务是，把一个前缀树里所有的状态转移，存储到base数组中，并在check数组中存储对状态转移合法性的检验信息。
构建DAT的思路比较多，基本思路都是，在遍历前缀树的过程中，把遇到的状态转移存储到base数组里，如果遇到冲突就使用一定的策略解决冲突(增大相应位置存储的位移量，使前缀树中当前节点的所有后驱节点对应饿index为空)。
接下来介绍一种构建方法。
4.2. 一种DAT构建算法及其伪代码
我们首先把词汇表存储到一个基于hashmap的前缀树中(后面直接叫trie)，结构如图3-1。
然后广度优先遍历这个trie,对每一个节点的操作是:
(1)当前节点对应base数组位置current_index，存储的偏移量默认是1。
(2)遍历当前节点的所有子节点，并检查各个子节点对应的base数组位置是否为空。如果全部为空，直接开始(3)；如果有不为空的情况，加大base[current_index]，直到所有子节点对应base数组位置为空，然后开始(3)。
(3)遍历当前节点的所有子节点，将它们存储到base数组中，并更新相应位置饿check数组信息。
我们可以用一个基于hashmap的trie来辅助DFS的进行。
4.3. DAT构建过程的展示
接下来，我们手工遍历图3-1所示的前缀树，并存储到双数组中。数组的初始大小是5,元素取值全部为0，表示“可用”。
4.3.1. 初始化所有词语的首字
4.3.2. 广度优先遍历trie
“大”前缀的所有子节点是[“力”]。我们现在检查这个前缀的末节点，和它的所有子节点构成的状态转移[“大力”]，是否可以存储到base数组中:
(1) 使用3.2的方法，在base中查询前缀“大”，得到当前状态是index=base[0]+id(大)=1+2=3。
（2）那么自动机读取”力”后的状态是index’=base[3]+id(力)=1+5=6。
不好base[6]=1!=0,不可用，我们需要给”力”安排一个新的位置。只能修改base[3]的大小了，加一。
（3）那么自动机读取”力”后的状态是index’=base[3]+id(力)=2+5=7。运气不错，base[7]=0。我们可以零base[7]=1，表示“大力”这个前缀的末尾状态是7。感谢
的提示，这里将"1+5"更正为"2+5"。
（4）巧了，“力”字是“大力”这个词语的末尾字，对应trie中一个叶子节点，我们可以用一个符号来表示:令base[7]=-1。在以后的状态转移操作中，一律使用base[7]的绝对值来进行计算，而符号只用来判断是否为叶子节点。
接下来，对trie中深度为1的其他节点采取类似操作。
然后，继续我们的广度优先遍历，直到所有深度对应的trie节点处理完毕。这时，base数组和check数组就可以支持3.2所描述的查询操作了。
4.4. 增删操作
一般来说，词汇表是需要经常更新的。比如说搜索引擎的分词器，需要尽快的完成各种新词的添加，以及一些无用词的删除。这就要求DAT有增删词语的功能。
增加词语的操作比较复杂。我们可能遇到一种非常幸运的情况，就是在添加词语的时候，没有遇到任何冲突，那就可以顺利添加了；更有可能的情况是，我们会在添加某个节点的时候，发现它的子节点在存储时会遇到冲突。在遇到冲突的情况下，我们需要把这个节点和它的子子孙孙，以及要添加的词语，都删掉，然后重新添加一遍。是的，这个操作非常慢。
删除词语的操作比较简单，把只属于这个词语的状态转移过程全部清空，即置为0即可。
4.5. DAT的优势和缺点
如2.2所述，DAT的特点就是查询快。
DAT的缺点比较多：
（1） 它的实现比较复杂，不能看出明显的逻辑结构、理解起来比较困难，不利于开发和维护活动的展开。
（2） 构建速度比较慢。因此，我们听说过用trie统计字符串频数，但是从没听说过用DAT统计。可以在初次加载词典的时候构建好DAT，然后缓存为文件，在以后的使用中直接加载缓存文件。
（3） 更新较慢。就像4.4所描述的，添加词语的操作具有较高的时间复杂度。当然，一些优化版本的DAT中，采用了其他形式的构建和更新策略，更新的速度会很快。
综上，DAT适合在高速查询、低速低频更新的场景中使用。
4.6. DAT的python实现
双数组前缀树的python实现可参考
https://github.com/lipengyuer/DataScience/blob/master/src/data_structure/DAT/DoubleArrayTrieTest4.py
5. 结语
假如我不太懂一个事物，那么我是无法把与它相关的机理讲透的，能做的就是把代码拿出来，作为笔记，以后“意会”就可以了。换句话说，如果我对一个知识点不太理解，那么在搞知识输出的时候，只能把实物摆出来、以隐性知识的形式来传播知识。
”隐性知识”是管理学里的一个概念，指的是“无法清晰表达，只可意会”的知识；相对地，还有一个“显性知识”，指的是可以用文字符号、数学符号等准确、清洗表达的知识。本文在介绍双数组前缀树的时候，主要以实物(即代码)的形式来展示，而没有用伪代码等形式详尽地说明DAT的构造过程，需要看这份笔记的人“意会”一下。因此这里有一部分内容没有讲透，是隐性知识。
隐性知识和显性知识的概念，可以应用到我们的知识管理和学习过程中。假如在学习过程中，只有我们把一部分内容掌握到非常好的程度，才有能力把该部分内容以显性知识的形式输出。否则，我们能输出的，就是“没有展开，没有讲透”的隐性知识。上大学的时候，班里比较勤奋的同学，比如隆兄，会在期末考试前给大家讲一下各门课程的内容。他们在讲课的过程中就复习了，还有我们这帮子人挑错，收货颇丰；当然主要是我们获益，能涨几分。隆兄们就是在利用知识输出的机会，考察自己的理解深度。
简单来说，我对DAT的理解还不太深，只能讲到这个程度啦。
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