描述:对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。
解法描述:设 a>b, 当 b=0,gcd(a,b)=a,此时 x=1,y=0; ab<>0 时,
设 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
因为gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。
代码:
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> //全局变量 int x,y;//希望求出的系数: x*a + y*b= c int tmpx,tmpy; //求最大公约数 int gcd(int num1, int num2) { if(0==num2) { return num1; } else { return gcd(num2, num1%num2); } } void extend_euclid(int a,int b,int c) { if(0==a) { x=0;y=1; return; } else if(0==b) { x=1;y=0; return; } else { extend_euclid(b,a%b,c); tmpx=x; tmpy=y; x=tmpy; y=tmpx-(a/b)*tmpy; return; } } int main() { int a,b;//用户输入 int c;//最大公约数 while(2==scanf("%d %d",&a,&b)) { if(0==a && 0==b)//a,b为不全为0的整数 return -1; c=gcd(a,b); extend_euclid(a,b,c); printf("最大公约数是%d\n",c); printf("x=%d, y=%d\n",x,y); } return 0; }