(LeetCode 64)Minimum Path Sum

Given a m x n grid filled with non-negative numbers, find a path from top left to bottom right which minimizes the sum of all numbers along its path.

Note: You can only move either down or right at any point in time.

题目：

在一个m行n列的二维数组中，每个元素都是非负数，从左上角走到右下角，每次只能向右或向下走，求该路径的总和最小。

思路：

1、枚举

枚举所有路径，从左上角到右下角，共经过m+n-2步，其中向下走m-1步，向右走n-1步，因此所有可能路径数为C(m+n-2,m-1)，算出所有路径的总和，找出最小的。

暴力枚举是万能的，但是不实际。

2、动态规划

假设dp[i][j]表示从左上角走到(i,j)的路径最小总和，因为每一步只能往下或往右，因此可以从左边(i-1,j)或上边(i,j-1)走到(i,j)。

状态转移方程：

dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+A[i][j]

初始值：

dp[0][0]=A[0][0],

dp[i][0]=dp[i-1][0]+A[i][0],

dp[0][j]=dp[0][j-1]+A[0][j].

复杂度：

时间复杂度O(m*n)，空间复杂度O(m*n)

空间优化：

dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])，只与dp[i-1][j]，dp[i][j-1]有关，可以去掉一维，只剩下

dp[j]=min(dp[j],dp[j-1])，因为等号右边的dp[j]是旧的，即dp[i-1][j]，等号右边的dp[j-1]是新的，即dp[i][j-1]（从循环i,j中可以明显看出来）

代码：

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int m=grid.size();
        int n=grid[0].size();
        vector<vector<int> > dp(m,vector<int>(n,0));

        for(int i=0;i<m;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                if(i==0){
                    if(j==0)
                        dp[i][j]=grid[i][j];
                    else
                        dp[i][j]=dp[i][j-1]+grid[i][j];
                }
                else if(j==0)
                    dp[i][j]=dp[i-1][j]+grid[i][j];
                else
                    dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int m=grid.size();
        int n=grid[0].size();
        vector<int> dp(n,0);

        for(int i=0;i<m;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                if(i==0){
                    if(j==0)
                        dp[j]=grid[i][j];
                    else
                        dp[j]=dp[j-1]+grid[i][j];
                }
                else if(j==0)
                    dp[j]=dp[j]+grid[i][j];
                else
                    dp[j]=min(dp[j],dp[j-1])+grid[i][j];
            }
        }
        return dp[n-1];
    }
};