(动态规划)最长回文子序列、回文子序列个数

主要内容：

1、什么是回文？

2、字符子串和字符子序列的区别

3、最长回文子序列的思路和代码

4、回文子序列个数的思路和代码

1、什么是回文palindrome？

回文指的是正读和反读都一样的字符串，如aba，abba等

2、字符子串和字符子序列的区别

字符字串指的是字符串中连续的n个字符；如palindrome中，pa，alind，drome等都属于它的字串

而字符子序列指的是字符串中不一定连续但先后顺序一致的n个字符；如palindrome中，plind，lime属于它的子序列，而mod，rope则不是，因为它们与字符串的字符顺序不一致。

3、最长回文子序列

要求：

给定字符串，求它的最长回文子序列长度。回文子序列反转字符顺序后仍然与原序列相同。例如字符串abcdfcba中，最长回文子序列长度为7，abcdcba或abcfcba。

思路：

动态规划思想

对于任意字符串，如果头尾字符相同，那么字符串的最长子序列等于去掉首尾的字符串的最长子序列加上首尾；如果首尾字符不同，则最长子序列等于去掉头的字符串的最长子序列和去掉尾的字符串的最长子序列的较大者。

因此动态规划的状态转移方程为：

设字符串为str，长度为n，p[i][j]表示第i到第j个字符间的子序列的个数（i<=j），则：

状态初始条件：dp[i][i]=1 （i=0：n-1）

状态转移方程：dp[i][j]=dp[i+1][j-1] + 2  if（str[i]==str[j]）

                   dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-1])  if （str[i]!=str[j]）

代码：

以下代码中的两层循环变量i,j的顺序可以改变，但必须满足i<=j的条件。

计算dp[i][j]时需要计算dp[i+1][*]或dp[*][j-1]，因此i应该从大到小，即递减；j应该从小到大，即递增。

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int longestPalindromeSubSequence1(string str){
    int n=str.length();
    vector<vector<int> > dp(n,vector<int>(n));

    for(int j=0;j<n;j++){
        dp[j][j]=1;
        for(int i=j-1;i>=0;i--){
            if(str[i]==str[j])
                dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;
            else
                dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-1]);
        }
    }
    return dp[0][n-1];
}

int longestPalindromeSubSequence2(string str){
    int n=str.length();
    vector<vector<int> > dp(n,vector<int>(n));

    for(int i=n-1;i>=0;i--){
        dp[i][i]=1;
        for(int j=i+1;j<n;j++){
            if(str[i]==str[j])
                dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;
            else
                dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-1]);
        }
    }
    return dp[0][n-1];
}

int main()
{
    string s;
    int length;
    while(cin>>s){
        length=longestPalindromeSubSequence2(s);
        cout<<length<<endl;
    }
    return 0;
}

4、回文子序列个数

要求：

给定字符串，求它的回文子序列个数。回文子序列反转字符顺序后仍然与原序列相同。例如字符串aba中，回文子序列为"a", "a", "aa", "b", "aba"，共5个。内容相同位置不同的子序列算不同的子序列。

思路：

动态规划思想

对于任意字符串，如果头尾字符不相等，则字符串的回文子序列个数就等于去掉头的字符串的回文子序列个数+去掉尾的字符串的回文子序列个数-去掉头尾的字符串的回文子序列个数；如果头尾字符相等，那么除了上述的子序列个数之外，还要加上首尾相等时新增的子序列个数，1+去掉头尾的字符串的回文子序列个数，1指的是加上头尾组成的回文子序列，如aa，bb等。

因此动态规划的状态转移方程为：

设字符串为str，长度为n，p[i][j]表示第i到第j个字符间的最长子序列的长度（i<=j），则：

状态初始条件：dp[i][i]=1 （i=0：n-1）

状态转移方程：dp[i][j]=dp[i+1][j] + dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1]  if（str[i]！=str[j]）

                   dp[i][j]=dp[i+1][j] + dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1]+dp[i+1][j-1]+1=dp[i+1][j] + dp[i][j-1]+1  if （str[i]==str[j]）

代码：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int NumOfPalindromeSubSequence(string str){
    int len=str.length();
    vector<vector<int> > dp(len,vector<int>(len));

    for(int j=0;j<len;j++){
        dp[j][j]=1;
        for(int i=j-1;i>=0;i--){
            dp[i][j]=dp[i+1][j]+dp[i][j-1]-dp[i+1][j-1];
            if(str[i]==str[j])
                dp[i][j]+=1+dp[i+1][j-1];
        }
    }
    return dp[0][len-1];
}

int main()
{
    string str;
    int num;
    while(cin>>str){
        num=NumOfPalindromeSubSequence(str);
        cout<<num<<endl;
    }
    return 0;
}