绕任意轴旋转的推导

万丈高楼平地起；勿在浮沙筑高台。

暂时放下其他的东西的学习，还不能称之为学习。潜心研究pbrt，看到第二章绕任意轴的旋转一部分，但是只是给了一个大体的推导，最终的推导并没有给出，所以在此做一下简单的推导。

给定一个规范化的方向向量a作为旋转轴，然后使向量v绕着这个轴旋转θ度，如图1所示，首先我们计算一个平行于向量a的向量 ，此向量与向量a的起点相同，终点与向量v的终点（此时向量v与向量a起点相同）在以a为法线的平面上。假设向量v与a之间的夹角为 ，那么我们有

图1，绕任意轴旋转示意图

我们首先在这个平面上构造一组向量基 v₁与 v₂，其中 v₁是v₁=v - v_c，

另外一个基向量可以通过两个向量的叉乘得到：v2 = (v₁ x a),因为向量a是规范化的，所以v₁与v₂具有相同的长度，这个长度与v与v_c之间的向量长度相同。在旋转平面（v₁与v₂所在的平面）来计算v绕向量v_c旋转θ得到:

再继续下面推导之前先复习一下向量点乘与叉乘的基本规律：

向量点乘符合以下规律：

向量叉乘符合以下规律：

现在可以开始推导上面的公式了，推导过程如下：（手机效果太烂。。。将就着看吧）

 

最后附上源码：

Transform Rotate(float angle, const Vector &axis) {
    Vector a = Normalize(axis);
    float s = sinf(Radians(angle));
    float c = cosf(Radians(angle));
    float m[4][4];

    m[0][0] = a.x * a.x + (1.f - a.x * a.x) * c;
    m[0][1] = a.x * a.y * (1.f - c) - a.z * s;
    m[0][2] = a.x * a.z * (1.f - c) + a.y * s;
    m[0][3] = 0;

    m[1][0] = a.x * a.y * (1.f - c) + a.z * s;
    m[1][1] = a.y * a.y + (1.f - a.y * a.y) * c;
    m[1][2] = a.y * a.z * (1.f - c) - a.x * s;
    m[1][3] = 0;

    m[2][0] = a.x * a.z * (1.f - c) - a.y * s;
    m[2][1] = a.y * a.z * (1.f - c) + a.x * s;
    m[2][2] = a.z * a.z + (1.f - a.z * a.z) * c;
    m[2][3] = 0;

    m[3][0] = 0;
    m[3][1] = 0;
    m[3][2] = 0;
    m[3][3] = 1;

    Matrix4x4 mat(m);
    return Transform(mat, Transpose(mat));
}