钢条切割问题求解方法及相关思考

钢条切割问题求解方法及相关思考

题目来源于《算法导论》第15章第一节。问题如下：

给定一个长度为n英寸的钢条和一个价格表p_i(i=1,2,3,...n),求能够使销售收益r_n最大的切割方案。

问题1：一共有多少种切割方式？

思路一：对于一个长度为n英寸的钢条，其中一共有n-1个节点可供切割，在每一个节点处都可以选择切割或者不切割，将对一根钢条的切割过程视为从第一个节点直到第n-1个节点逐一选择切割或者不切割的一个过程，利用乘法原理，可以算出来总共有2^n-1种切割方案。以四个节点的钢条为例：

思路二：也可以将切割一个长度为n英寸的钢条视作是从n-1个节点当中选择i（i=0,1,2,....,n-1）个节点进行分割的过程。那么总的分割方式m的计算方式可以使用排列组合的相关知识进行运算。m=C⁰_n-1+C¹_n-1+.....+C^n-1_n-1，根据牛顿二项式公式m=2^n-1。

问题解决方案

一、自顶向下递归

从钢条左边切割下长度为i的一段（不作任何处理），再对剩下的长度为n-i的钢条进行切割（递归），一个最优的解决方案就是:r_n=max(p_i+r_n-i)(1<=i<=n)，C++代码实现如下：

#include "stdafx.h"
int CutRod(int p[], int n)//输入分别为价格数组和问题规模（钢条大小）
{
    if (n == 0)
    {
        return 0;
    }
    int q = -1000;//保证程序的顺利启动
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (q < p[i - 1] + CutRod(p, n - i))
        {
            q=p[i - 1] + CutRod(p, n - i);
        }
    }
    return q;
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    int a[10] = { 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 25 };//钢条分割的价格数组
    printf("%d", CutRod(a, 10));
    getchar();
    return 0;
}

问题2：这样的一种递归遍历能否遍历所有的2^n-1种切割方法？

我之前一直以为这种计算方法无法遍历到所有的切割方式，以为这种每一次都不考虑左半边分割的方式会忽略掉某些解。但是细想的话会发现，原来对于左半边的分割在之前的遍历当中已经考虑到了，并不需要再考虑。比如，如果从距离钢条左边2英寸处分割成两半然后只考虑右边的n-2英寸的钢条的分割的话，不需要考虑将左边2英寸的钢条再分为两个1英寸的情况，因为在计算将左边分为一个1英寸这种情况的时，另外的n-1部分其中有一种情况就是将其分为一个1寸和n-2寸的情况，这样就考虑了之前所说的那种情况。也可以对比问题一当中的例子来思考这一问题。

二、利用动态规划的思想解决这一问题

上面所提到的那种算法会在遍历的过程当中多次计算同样的子问题，所以需要应用一些策略来减少算法计算数量，下面分别提供了两种更好的方案。

带备忘的自顶向下的解决方案：记录在遍历的过程当中所遇到的子问题的解，算法在后面的运行当中会对照所记录的解，如果当前子问题存在解就直接输出解，否则就执行运算；

自底向上的解决方案：先解决子问题，再利用子问题的解来解决父问题；

1、带备忘的自顶向下的解决方案C++实现

此程序还可以记录下每一个子问题的最佳切割方案，最后输出问题整个问题的最佳切割过程。

#include "stdafx.h"
#include <string>
using namespace std;
struct A{
    int q;
    int* r;
    int* step;
};
//有备忘的自顶向下解决方案
//对规模为n的问题进行计算
int MCutRodA(int a[], int n, int r[],int step[])
{
    int q;//问题的解
    int s;//切割方案
    if (r[n] >= 0)//如果子问题已经有解就返回所记录的子问题的解
    {
        return r[n];
    }
    if (n == 0)
    {
        q = 0;
        s = 0;
    }
    else{
        q = -100;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            if (q < MCutRodA(a, n - i, r,step) + a[i-1])
            {
                q = MCutRodA(a, n - i, r, step) + a[i - 1];
                s = i;
            }
        }
    }
    r[n] = q;//记录解
    step[n] = s;//记录切割方案
    return q;
}
//带备忘的递归解决方案
A MCutRod(int a[],int n)
{
    int* r = (int*)malloc((n + 1)*sizeof(int));//设置一个数组记录不同规模的子问题的解
    int* step = (int*)malloc((n + 1)*sizeof(int));//设置一个数组记录不同规模子问题的切割方案
    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        r[i] = -1;
    }
    A B;
    B.q = MCutRodA(a, n, r, step);
    B.r = r;
    B.step = step;
    return B;
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    int a[10] = { 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 25 };//钢条分割的价格数组
    A B = MCutRod(a, 10);
    printf("不同子问题的最大价值：");
    for (int i = 0; i < 11; i++)
    {
        printf("%d ", B.r[i]);
    }
    printf("
不同规模子问题从左边开始的最优切割方式：");
    for (int i = 0; i < 11; i++)
    {
        printf("%d ", B.step[i]);
    }
    printf("
");
    printf("%d", B.q);
    int n = 10;
    printf("最佳的切割方式为：");
    while (n > 0)
    {
        printf("%d ", B.step[n]);
        n = n - B.step[n];
    }
    getchar();
    return 0;
}

2、自底向上解决方案的C++实现

int BTUCutRod(int a[], int n)
{
    int* r = (int*)malloc((n + 1)*sizeof(int));
    r[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)//遍历所有可能的问题规模数
    {
        int q = -100;
        for (int j = 1; j <= i; j++)
        {
            if ((a[j - 1] + r[i - j]) > q)
            {
                q = a[j - 1] + r[i - j];
            }
        }
        r[i] = q;
    }
    return r[n];
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    int a[10] = { 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 25 };//钢条分割的价格数组
    printf("%d", BTUCutRod(a, 10));
    getchar();
    return 0;
}