CQOI2018 九连环 打表找规律 fft快速傅里叶变换

题面：

　　CQOI2018九连环

分析：

　　个人认为这道题没有什么价值，纯粹是为了考算法而考算法。

　　对于小数据我们可以直接爆搜打表，打表出来我们可以观察规律。

　　f[1~10]: 1 2 5 10 21 42 85 170 341 682

　　我们可以发现的规律是，当i为奇数时，f[i]=f[i-1]*2+1，偶数时f[i]=f[i-1]*2。

　　既然这样，我们可以推断通项公式是否跟2的次幂有关。

　　我们连蒙带猜连导带推，可以得出，f[i]=2^(i+1)/3（下取整）。

　　再结合数据范围，我们可以决定是写fft+快速幂还是写python

　　这样这道题就结束了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define db double
#define ll long long
#define cp complex<db>
using namespace std;
const int N=70000;
const db pi=acos(-1);int r[N];
void fft(cp *a,int *r,int lm,int op){
    for(int i=0;i<lm;i++) 
    if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    for(int mid=1;mid<lm;mid<<=1){
        cp wn;wn=cp(cos(pi/mid),op*sin(pi/mid));
        for(int R=mid<<1,j =0;j<lm;j+=R){
            cp w;w=cp(1,0);
            for(int k=0;k<mid;k++,w=w*wn){
                cp x=a[j+k],y=w*a[j+mid+k];
                a[j+k]=x+y;a[j+mid+k]=x-y;
            }
        }
    } return ;
} struct big{
    int g[N],len;
    big(){
        memset(g,0,sizeof(g));len=1;
    } big(int x){
        memset(g,0,sizeof(g));len=0;
        if(!x){len=1;return ;}
        while(x) g[len++]=x%10,x/=10;
    } void operator *=(const big &b){
        static cp A[N],B[N];
        int nl=len+b.len,lm=1,L=0;
        while(lm<nl) lm<<=1,++L;
        for(int i=0;i<lm;i++)
        A[i]=cp(i<len?g[i]:0,0),
        B[i]=cp(i<b.len?b.g[i]:0,0);r[0]=0;
        for(int i=0;i<lm;i++)
        r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
        fft(A,r,lm,1);fft(B,r,lm,1);
        for(int i=0;i<lm;i++) A[i]*=B[i];
        fft(A,r,lm,-1);int ans[N];
        for(int i=0;i<lm;i++)
        ans[i]=(int)(A[i].real()/lm+0.5);
        for(int i=0;i<lm;i++)
        if(ans[i]>9) ans[i+1]+=ans[i]/10,
        ans[i]%=10;lm--;
        while(lm>0&&!ans[lm]) lm--;len=++lm;
        for(int i=0;i<lm;i++) g[i]=ans[i];
    } void operator /= (int x){
        int sm=0,nl=0;
        for(int i=len-1;~i;i--){
            sm=sm*10+g[i];
            if(sm<x) g[i]=0;
            else{
                if(!nl) nl=i+1;
                g[i]=sm/x,sm%=x;
            }
        } len=max(nl,1);
    } void print(){
        for(int i=len-1;~i;i--)
        printf("%d",g[i]);puts("");
    }
}ret,bs;
int main(){
    int t;scanf("%d",&t);while(t--){
        int n;scanf("%d",&n);n++;
        ret=big(1);bs=big(2);
        while(n){
            if(n&1) ret*=bs;
            bs*=bs;n>>=1;
        } ret/=3;ret.print();
    } return 0;
}