[Sdoi2010] 地精部落

F. 地精部落

题目描述

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。

输入格式

仅含一行，两个正整数 N, P。

输出格式

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

样例

样例输入

4 7

样例输出

3

数据范围与提示

对于 20%的数据，满足 N≤10；
对于 40%的数据，满足 N≤18；
对于 70%的数据，满足 N≤550；
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤10^9​9​​

大佬们都说这道题是水题，然而我貌似搞了一天，其实开始就想出来了一个n3的算法，但是肯定会T，我以为是个组合数的题，就去想其他解法了，然而那个n³再改一下就是正解了……

题解：

设f[i][j][0]表示考虑前i段，前i个数，第i段为j且为山谷，f[i][j][1]第i段为j且为山峰。那么f[i][j][0]=∑f[i-1][k][1];(j<k<i)。

这样是n³怎么优化呢？可以发现f[i][j][0]与f[i][i-j+1][1]是一一对应的（相当于是把原来的山峰变成了山谷，山谷变成了山峰），不明白可以去手膜样例。所以f[i][j][0]=∑f[i-1][i-k+1][0](j+1<=k<i)=∑f[i-1][k][0](1<=k<=i-j);

其实后面的0就完全可以去掉了：f[i][j]=∑f[i-1][k](1<=k<=i-j)，那么可以用一个变量辅助dp，就可以变为n²了。

for(int i=2;i<=n;i++)
{
    tem=0;
    for(int k=1;k<=i-1;k++)   
        tem=(tem+f[i-1][k])%p;
    for(int j=1;j<=i;j++)
        f[i][j]=tem,tem=((tem-f[i-1][i-j])%p+p)%p;
}

最后答案为(∑f[n][i])*2,因为最后一个点为山峰和山谷的方案数是一样的，乘2即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
LL n,p;
LL f[4210][4210];
signed main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&p);
    LL tem=0,ans=0;
    f[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        tem=0;
        for(int k=1;k<=i-1;k++)   
            tem=(tem+f[i-1][k])%p;
        for(int j=1;j<=i;j++)
            f[i][j]=tem,tem=((tem-f[i-1][i-j])%p+p)%p;
    }
	for(int i=1;i<=n;i++)ans=(ans+f[n][i])%p;
	ans=(ans+ans)%p;
	cout<<ans<<endl;
}

 但是这样在bzoj上A不了，要用滚动数组;

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
LL n,p,tem=0,ans=0;;
LL f[2][4210];
signed main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&p);
    f[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        tem=0;
        for(int k=1;k<=i-1;k++)   
            tem=(tem+f[(i-1)%2][k])%p;
        for(int j=1;j<=i;j++)
            f[i%2][j]=tem,tem=((tem-f[(i-1)%2][i-j])%p+p)%p;
		for(int k=0;k<=n;k++)
			f[(i-1)%2][k]=0;
    }
	for(int i=1;i<=n;i++)ans=(ans+f[n%2][i])%p;ans=(ans+ans)%p;
	cout<<ans<<endl;
}