Bzoj2839 集合计数

C. 集合计数

题目描述

一个有N个元素的集合有2^N个不同子集（包含空集），现在要在这2^N个集合中取出若干集合（至少一个），使得它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。（是质数喔~）

输入格式

一行两个整数N,K

输出格式

一行为答案。

样例

样例输入

3 2

样例输出

6

数据范围与提示

样例说明

假设原集合为{A,B,C}

则满足条件的方案为：{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}

数据说明

对于100%的数据，1≤N≤1000000；0≤K≤N；

 a^b%c!=a^b%c!!!卡了我好久。

这道题要用到组合数和容斥，因为交集为k的方案并不好求，但是交集至少为k的方案数比较好求，所以考虑容斥：

设提前选出来k个数，然后求交集至少为k+x时的方案数：（2^ 2（n-k-x）-1）*C(n-k,x),交集至少为k+x时，有2（n-k-x）个集合，则有2^ 2（n-k-x）种方案，但是要减去一个都不选的一种，乘C（n-k，x），然后容斥，对于x奇减偶加;

但是因为k是提前选出来的，以上并没有考虑k的方案，所以最后答案*C（n，k）;

错误示范：

LL ans=0;
    for(int i=0;i<=n-k;i++)
    {
        LL res=(inv(2,inv(2,n-k-i))-1)*C(n-k,i)%mod;
        if(i%2)ans-=res;
        else   ans+=res;
        ans%=mod;
    }

a^b%c!=a^b%c!!!但是如果把循环顺序改一下，可以发现其实inv(2,inv(2,n-k-i))是每次平方的（inv为快速幂）：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define mod 1000000007
#define LL long long
using namespace std;
int n,k;
LL jc[1000010];

LL inv(LL a,LL b)
{
	LL ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b=b>>1;
	}
	return ans%mod;
}
LL C(LL n,LL m)
{
	if(!m)return 1;
	return jc[n] * inv(jc[m],mod-2) %mod * inv(jc[n-m],mod-2) %mod;
}
void init()
{
	jc[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
}
signed main()
{
//	freopen("in.txt","r",stdin);

	cin>>n>>k;init();
	LL ans=0,pf=2;
	for(int i=n-k;i>=0;i--)
	{
		LL res=(pf-1)*C(n-k,i)%mod;
		pf=pf*pf%mod;
		if(i%2)ans-=res;
		else   ans+=res;
		ans=(ans%mod+mod)%mod;
	}
	ans=(ans%mod+mod)%mod;
	ans=ans*C(n,k)%mod;
	cout<<(ans%mod+mod)%mod<<endl;
}