图像处理系列（1）：測地线动态轮廓（geodesic active contour）

动态轮廓是图像切割的一个热点，从早期的snake，就有非常多的优化版。測地线动态轮廓（GAC）就是当中之中的一个。整体来说，其摒弃了snake对參数的依赖。并增加了水平集，使得轮廓曲线更贴近目标物的拓扑结构。

经典的动态轮廓模型（activecontour model）的能量公式为：

  （1）

当中，α。β，λ为正值常量。

当中前两项控制曲线的平滑度。第三项吸引曲线向物体边界靠近。极小化该E(C)能量函数得到切割轮廓。

VICENT(參考1)指出第二项有无对切割结果影响不大（即β=0）。

而最大化第三项，也是最小化g(|▽I|)² 。

    则简化为：

     （2）

当中，

依据一系列的黎曼积分定理的推导（參见1和2）。将（2）式转换为：

       （3）

为了求解上式，採用梯度下降法，具体推导參见1（附B），有

                   （4）

当中，上式增加水平集后的GAC为：

             

            水平集{μ：μ(t)=k}表示闭合的曲线C

   （5）

当中。c为常数， k是曲率, N是曲线的标准法向量

      且  N= -（▽μ/|▽μ|）

总体来说：

GAC模型借用了水平集。结合经典的active contour 模型，以图像的梯度为驱动力。在图像梯度最大处，达到收敛。其攻克了传统的AC不能处理变形过程中拓扑的变化，如不能处理多物体检測。以及须要对參数的预设置等问题。可是。其在处理模糊图像，或者纹理图像时。效果还是不理想。

參考：

1. Geodesic Active Contours（VICENT）

1.     函数列的黎曼积分极限定理的应用

2.     Geodesic Active Contours （Waterloo）

3.     局部熵驱动的GAC模型在生物医学图像切割中的应用（对于驱动力的更换有思考）

4.   PDE Based Image Processing （matlab 代码）