P2633 Count on a tree
给定一棵树，询问树上两点路径的第 k 小，强制在线。
可以直接树剖然后主席树，复杂度俩 (log) 。
这里主要是一个数据结构维护树上前缀信息的技巧。
想一想我们求树上两点距离怎么求的？
(dist(u,v)=dis(u)+dis(v)-2*dis(lca)) 。
这里 (dis) 指的是到根节点的距离。
这里我们通过维护一个前缀距离，再在树上进行差分，就达到了目的。
那么我们可不可以把这个“距离”改造成“树”来更好地维护更多的信息呢？
显然是可以的，但是我们显然不能把每棵树直接建出来，再加上这个是前缀信息，这让我们想到了什么呢？
——可持久化数据结构。
我们发现主席树维护的是 sum （这个值域的数的总数），这个具有可减性，那么我们可以考虑这样在主席树上二分找第 k 大即可：
在每一个节点，其基准值就是 (sum(lc(u))+sum(lc(v))-sum(lc(lca))-sum(lc(falca))) ，其中所有 (u,v,lca,falca) 代表的是当前的四个节点对应的主席树节点。
那么这道题这样就很简单了。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template <typename T>
inline void read(T &x){
x=0;char ch=getchar();bool f=false;
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-'){f=true;}ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
x=f?-x:x;
return ;
}
template <typename T>
inline void write(T x){
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(x>9) write(x/10);
putchar(x%10^48);
return ;
}
const int N=4e5+5,NN=1e8;
int n,m,q,a[N],root[N],cur,Idx,b[N];
int nex[N<<1],to[N<<1],head[N],idx;
int fa[N][18],dep[N],Fa[N],siz[N];
inline int Getfa(int x){return x==Fa[x]?x:Fa[x]=Getfa(Fa[x]);}
inline void add(int u,int v){
nex[++idx]=head[u];
to[idx]=v;
head[u]=idx;
return ;
}
struct SGTree{
int lc,rc,val,sum;
#define lc(x) t[x].lc
#define rc(x) t[x].rc
#define val(x) t[x].val
#define sum(x) t[x].sum
}t[NN];
inline void Pushup(int x){sum(x)=sum(lc(x))+sum(rc(x));return ;}
void Modify(int &x,int pre,int l,int r,int pos,int v){
x=++cur;
t[x]=t[pre];sum(x)++;
if(l==r) return ;
int mid=(l+r)>>1;
if(pos<=mid) Modify(lc(x),lc(pre),l,mid,pos,v);
else Modify(rc(x),rc(pre),mid+1,r,pos,v);
return ;
}
inline void Update(int x,int f){
fa[x][0]=f;dep[x]=dep[f]+1;
for(int i=1;i<=16;i++) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
Modify(root[x],root[f],1,Idx,a[x],1);
return ;
}
int QueryLca(int u,int v){
if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
for(int i=16;i>=0;i--) if(dep[fa[u][i]]>=dep[v]) u=fa[u][i];
if(u==v) return u;
for(int i=16;i>=0;i--) if(fa[u][i]!=fa[v][i]) u=fa[u][i],v=fa[v][i];
return fa[u][0];
}
int QueryKth(int u,int v,int lca,int falca,int l,int r,int k){
if(l==r) return l;
int mid=(l+r)>>1,lsum=sum(lc(u))+sum(lc(v))-sum(lc(lca))-sum(lc(falca));
if(k<=lsum) return QueryKth(lc(u),lc(v),lc(lca),lc(falca),l,mid,k);
else return QueryKth(rc(u),rc(v),rc(lca),rc(falca),mid+1,r,k-lsum);
}
void Build(int x,int f){
Update(x,f);
for(int i=head[x];i;i=nex[i]){
int y=to[i];
if(y==f) continue;
Build(y,x);
}
return ;
}
void Link(int u,int v){
int x=Getfa(u),y=Getfa(v);
if(siz[x]<siz[y]) swap(u,v),swap(x,y);
siz[x]+=siz[y],Fa[y]=x;
add(u,v),add(v,u);
Build(v,u);
return ;
}
bool vis[N];
void dfs(int x,int f){
vis[x]=true;Update(x,f);
for(int i=head[x];i;i=nex[i]){
int y=to[i];
if(y==f) continue;
dfs(y,x);
}
return ;
}
int main(){
read(n),read(m);
for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]),Fa[i]=i,siz[i]=1,b[i]=a[i];
sort(b+1,b+n+1);Idx=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(b+1,b+Idx+1,a[i])-b,Modify(root[i],0,1,Idx,a[i],1);
for(int i=1;i<n;i++){
int u,v;
read(u),read(v);
add(u,v);add(v,u);
}
for(int i=1;i<=n;i++) if(!vis[i]) dfs(i,0);
int las=0;
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v,w;
read(u),read(v),read(w);
u^=las;int LCA=QueryLca(u,v);
las=b[QueryKth(root[u],root[v],root[LCA],root[fa[LCA][0]],1,Idx,w)];
write(las),putchar('
');
}
return 0;
}